Mathematik Hausarbeit?
Habe ein Problem bei folgender Mathematik Aufgabe:
Ein zylinderförmiger Kuchen liegt unterhalb einer halbkugelförmigen Plastikform. Zeigen Sie, dass der Kuchen weniger als 3/4 des Volumens der Halbkugel belegt.
3 Antworten
Die Plastikform hat einen Durchmesser von 1m.
Der Kuchen einen von 1mm, und er ist genauso hoch.
Ich denke, das geht ohne Rechnung.
Sei der Radius der Halbkugel 1, so hat diese ein Volumen von
4/3 * pi * 1³ * 0,5 = 2/3 pi
Wenn man dieser Halbkugel den größtmöglichen Zylinder (Torte) einschreibt mit Höhe h (0 <= h <= 1), dann hat dieser Zylinder einen Radius von
r = Wurzel(1-h²)
der Zylinder hat also ein Volumen von
r² pi * h = (1-h²) * pi * h
Mam muss nun zeigen, das immer gilt:
2/3 pi * 3/4 >= (1-h²) * pi * h
also:
1/2 >= (1-h²) * h = h - h² (für h <= 1).
Du bestimmst also das Maximum der Terms auf der rechten Seite und prüfst, ob die Bedingung stimmt.
Der Würfel ist das maximale Volumen. Im Vergleich mit r der halbkugel, setzt man das Würfelvolumen mit (r-x)³ an. Nun beide vergleichen Vhalbk. = 4/6 pi r³