Könnt ihr mir bei einer Extremwertaufgabe helfen?
Hallo liebe Leute, ich bräuchte da Hilfe bei folgender Aufgabe.
Sie lautet: Eine parabelförmige Halle der Breite 32 m und Höhe 25m soll eine trapezförmige Tragstruktur erhalten. Welche Breite b und welche Höhe h muss die Struktur haben, wenn der lichte Querschnitt unterhalb der Tragstruktur maximal sein soll ?
Meine Berechnungen seht ihr in den Bildern.
Was habe ich falsch gemacht ?
Danke !
3 Antworten
Hallo,
Du mußt den Scheitelpunkt auf die y-Achse legen, weil Du so die Symmetrie der Parabel nutzen kannst.
Außerdem läßt sich die Gleichung einfacher bestimmen.
Der Scheitelpunkt liegt bei (0|25), die positive Nullstelle bei (16|0).
Aufgrund des bekannten Scheitelpunktes kannst Du die Gleichung schnell aufstellen:
f(x)=ax²+25
a bestimmst Du mit Hilfe der Nullstelle:
a*16²+25=0
256a=-25
a=-25/256
f(x)=(-25/256)x²+25
f(x) ist gleichzeitig die Höhe des gesuchten Trapezes.
Wegen der Symmetrie maximierst Du einfach nur die rechte Hälfte des Trapezes.
Die Unterseite ist 16 Einheiten breit, die Oberseite ist x, die Höhe ist f(x).
Die Fläche eines Trapezes ist Unterseite plus Oberseite geteilt durch 2 mal Höhe, also f(x)*(16+x)/2=((-25/256)x²+25)*(8+x/2)
Diese Fläche soll maximal werden.
Du bildest also die Ableitung der Flächenfunktion und setzt sie auf Null.
Die Ableitung bekommst Du entweder über die Produktregel oder Du multiplizierst die Flächenfunktion aus und leitest die Summanden einzeln ab.
Wenn Du alles richtig gemacht hast, bekommst Du als Nullstellen der Ableitung -16 und 16/3 heraus. Der negative Wert ist natürlich unbrauchbar.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich habe es noch nicht durchgerechnet, aber 2 Anmerkungen bisher:
Warum legst du die y-Achse nicht mittig durch die Halle, so dass sie durch den Scheitelpunkt verläuft? Damit machtest du dir die Rechnung wesentlich einfacher.
Beim Einsetzen von A lautet die Gleichung
0 = a*0² + b*0 + c und nicht 0 = 0x²+ 0x +c
(Das Resultat ist zwar das Gleiche, aber dennoch ist der Ansatz falsch)
Doch, achsensymmetrische Parabel wäre definitv viel besser.
Mir scheint trotzdem was zum berechnen zu fehlen.
Viel Glück noch
Dass die die Parabel - wenn sie zur Angabenskizze passen soll - achsensymmetrisch sein muss, habe ich ja explizit geschrieben.
Wenn du den Rechenweg des FS nachvollzogen hättest, würdest du erkennen, dass er mit einer Parabel rechnet, deren y-Achse durch den Nullpunkt geht, nicht durch den Scheitel!
Und nein, es fehlt sonst nichts, das Beispiel lässt sich natürlich so lösen!
Vielen Dank euch Dreien ! Ich habs verstanden. Es ist ja doch nicht so schwer, wie bisher angenommen. Beste Grüße
Und dass du die Parabel nicht achsensymmetrisch anlegst, ist auch der Fehler.
b = 2x zum Beispiel stimmt dadurch nicht mehr, da dies davon ausgeht, dass x von der Mittellinie weg gemessen wird, nicht - wie du es dann machst - von der Nullstelle!