Mathematik Glücksrad?
Guten Tag,
ich habe ein Frage zu einer Mathematik aufgabe.
Die Aufgabe: Ein Glücksrad (gleich große Felder) die abwechselnd Schwarz und Weiß sind (10 Felder).
a)zweimal "schwarz"
b)höchstents einmal "weiß"
Ist es bei a 2 zehntel oder 2 fünftel
und ist es bei b 1 zehntel oder 1 fünftel?
Vielen dank im vorraus !
4 Antworten
Dazu könntest du ein Baumdiagramm erstellen (falls ihr es gelernt habt)
Was ist denn überhaupt gesucht? Und da fehlt wohl ein Teil der Aufgabenstellung.
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Bei a) ist wohl die Wahrscheinlichkeit dafür gesucht, das (genau) zweimal "schwarz" angezeigt wird. Aber wie oft wird das Glücksrad dafür gedreht?
Bei 0-maligem Drehen ist die Wahrscheinlichkeit:
Bei 1-maligem Drehen ist die Wahrscheinlichkeit:
Bei 2-maligem Drehen ist die Wahrscheinlichkeit:
Bei 3-maligem Drehen ist die Wahrscheinlichkeit:
Bzw. etwas allgemeiner: Bei n-maligem Drehen ist die Wahrscheinlichkeit (für genau zweimal "schwarz"):
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Bei b) ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei n-maligem Drehen höchstens einmal "weiß" vorkommt:
Hi :)
Erstmal guckst du, welche Wahrscheinlichkeiten es gibt. Die liegen bei Schwarz und weiß bei je 1/2.
Wie oft darfst du drehen? Ich entscheide einfach mal, dass du fünf Mal drehen darfst, wir brauchen nämlich die Anzahl der Drehungen, damit wir weiter rechnen können. Wenn du eine andere Anzahl an Drehungen hast, musst du einfach n in der Bernoulli-Kette anpassen.
Da gibt es eine ganz wunderbare Formel, die sich Bernoulli-Kette nennt. Du hast hier nämlich zwei Ausgänge, Schwarz und weiß. Außerdem bleibt die Wahrscheinlichkeit nach jedem Drehen immer dieselbe. Sie lautet:
P = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Dabei ist n die Gesamtanzahl der Drehungen, k die Anzahl, die zutreffen darf und p die Wahrscheinlichkeit von dem einzutreffenden Ereignis.
Wenn du genau zwei Mal drehen darfst, setzt du für n=2 ein und erhältst:
P1 = (5 über 2) * (0,5)^2 * (1-0,5)^3
=> Wie komme ich zu dieser Formel? Ganz einfach. Du kannst dir das am besten an einem Baumdiagramm verdeutlichen. Du malst zwei Pfade für den ersten Zug, von jedem Pfad abgehend zwei weitere u.s.w. - wie viele Möglichkeiten es gibt, zwei Mal weiß bei 5 Drehungen zu haben, gibt der Binomialkoeffizient im ersten Teil der Formel an. Wenn du die richtigen Pfade entlang gehst, hast du ja immer drei Mal die Wahrscheinlichkeit für weiß und zwei Mal die Wahrscheinlichkeit für schwarz. Und wie du vermutlich gelernt hast, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden wenn man zu einem Ausgang will, wenn es mehrere Ausgänge mit dem Ergebnis gibt, addiert man die. Und diese mehrfache Addition entspricht einer Multiplikation mit dem Binomialkoeffizienten (da dieser ja quasi die Anzahl der Möglichen Pfade direkt angibt).
Ausgerechnet kommt man dann auf P1 = 5/16.
Sowas Ähnliches machen wir auch für die zweite Aufgabe. Wir verwenden hier zwar dieselbe Formel, aber wir müssen jetzt zwei Fälle betrachten. In der Aufgabe heißt es, dass du höchstens ein Mal weiß haben darf. Dies schließt auch den Pfad mit ein, bei dem man kein Mal weiß dreht. Denn höchstens einmal entspricht null Mal und ein Mal. Also wenden wir den Binomialkoeffizienten einmal für k=0 und dann noch einmal für k=1 an:
P2 = (5 über 0) * 0,5^0 * 0,5^5 + (5 über 1) * 0,5^1 * 0,5^4
=> Die einzelnen Bernoulli-Ketten habe ich jetzt addiert, wie du sehen kannst. Das liegt daran, dass wir uns erst die eine, dann die andere Wahrscheinlichkeit ausrechnen. Diese muss man für die Gesamtwahrscheinlichkeit, wie oben schon geschrieben, addieren. Das sind ja dieses Mal zwei verschiedene Wahrscheinlichkeiten, die am Ende rauskommen, deshalb muss man zwei separate Formeln aufstellen, die je eines der Ereignisse umfassen.
Wir erhalten P2 = 3/16.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen, bei Fragen melde dich.
LG
Schreib doch an, wie du auf deine "Ergebnisse" kommst - anstatt nur zu raten. Dann können wir darüber reden. (alles Vorgeschlagene ist übrigens falsch...)
Es gibt mehrere Möglichkeiten wie man das angehen kann...