Mathematik, ganzrationale funktionen?
Ich habe 2 Fragen um genau zu sein. Die erste würde lauten: woran erkenne ich anhand des graphen der ersten ableitung einer Funktion, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt? Geht es da um den Vorzeichenwechsel? Und wieso ist die 2te Ableitung bei einem Tiefpunkt Positiv und bei einem Hochpunkt negativ?
2 Antworten
woran erkenne ich anhand des graphen der ersten ableitung einer Funktion, ob es sich um einen Hochpunkt oder Tiefpunkt handelt?
Wie im Leben: gimg es erst auwärts, dann abwärts hat man den Hochpunkt hinter sich
Geht es da um den Vorzeichenwechsel?
Ja
Und wieso ist die 2te Ableitung bei einem Tiefpunkt Positiv und bei einem Hochpunkt negativ?
Wenn es erst aufwärts und dann abwärts ging (also Hochpunkt) hat die Steigung der Steigung abgenommen.
Bei einem Extrempunkt wechselt die Steigung ihr Vorzeichen. Bei einem Maximum ist sie erst positiv, dann negativ. Das bedeutet ja, dass die Steigung abnimmt. Demnach wäre die Ableitung der Steigung (also zweite Ableitung) negativ.
Aber Vorsicht: In einem Extrempunkt kann die zweite Ableitung auch 0 sein. Bei zweiter Ableitung 0 kann also sowohl ein Extrempunkt als auch ein Sattelpunkt vorliegen. Sicheres Kriterium ist der Vorzeichenwechsel von f'.
Ja genau es geht um den Vorzeichenwechsel.
Die Ableitung ist ja im Grunde nichts anderes als die Steigung des Graphen, wenn du also Tangenten an den Graphen verlaufen lässt
Jetzt kann die Steigung positiv sein, dann verläuft die Tangente so: /
Oder die Steigung kann negativ sein, dann verläuft sie so: \
Wenn die Steigung gleich 0 ist, eine waagrechte Tangente also vorliegt, dann hat der Graph der Ableitungsfkt. eine Nullstelle
Wenn du an einen Punkt eine positive Steigung hast, dann ist auch der Funktionswert der Ableitung positiv
Wenn du an einen Punkt eine negative Steigung hast, dann ist auch der Funktionswert der Ableitung negativ
So kannst du ganz leicht Hoch-/Tief-/Terrassenpunkt erkennen
Bei einem Hochpunkt verlaufen Tangenten ja so: /\ (also von positiver Steigung zu negativer)
Bei einem Tiefpunkt verlaufen sie: \/ (also von negativer zu positiver Steigung)
Ist jetzt ne lange Antwort, aber ich hoffe das hilft...
Kannst du mir die 2te Frage genauer erklären?