Können Zahlen lügen?
Hallo. Ich kenne mich in Mathematik nicht wirklich aus, habe nur Grundkenntnisse. Mich interessiert eine Grundsatzfrage. Man sagt immer: Zahlen lügen nicht. Stimmt das auch? Einer meiner Mathematiklehrer hat einmal behauptet, dass nur die beiden Grundrechenarten Addition und Subtraktion exakt sind. Je höher die Rechnungsart umso fehlerhafter wäre sie. ErEr wollte es einmal mit uns ausprobieren und mit einer beliebigen Zahl nacheinander verschiedene Rechenoperationen durchführen. Wenn man mit einer Zahl viele Rechenschritte durchführt und das Ergebnis wieder genau so zurückrechnet, dann sollte am Ende wieder die Ausgangszahl herauskommen, was aber nicht immer der Fall ist. Ich hoffe ich hab mich verständlich ausgedrückt. Hat er damit recht oder nicht? Ausprobiert haben wir so eine Rechnung dann leider nicht mit ihm.
4 Antworten
Ich verstehe vermutlich, was der Lehrer meint.
Bei Addition und Subtraktion kann das Ergebnis nie mehr Stellen hinter dem Komma haben wie die Ausgangszahlen. Dementsprechend kann man mit der jeweiligen Umkehroperation auch wieder in allen Fällen die Ausgangszahlen erhalten.
Bei allen anderen Rechenoperationen, angefangen bei Multiplikation und erst recht bei Division, gibt es aber immer wieder Fälle, bei denn so viele Nachkommastellen im Ergebnis entstehen, dass man zwangsläufig runden muss. Genau dann wird die Rechnung aber unexakt und stellt nur noch eine Näherung dar. Wenn man das oft genug nacheinander macht und irgendwann dann mit den Umkehroperationen versucht wieder die Ausgangszahlen zu erhalten, merkt man, dass es da Unterschiede gibt und die ganze Rechnerei Ungenauigkeiten produziert hat.
Hi,
mir ist klar was Dein Lehrer meinte. Zum Beispiel:
22 : 7 = 3,14
3,14 x 7 = 21,98
oder
√2 = 1,41
1,41 x 1,41 = 1,9881
Es liegt natürlich an dem Runden.
Bei der Division kann man schon teilen bis man eine Periode findet und dann die Dezimalzahl in einen periodischen Bruch umwandeln, dann käme wieder genau 7 heraus.
Beim Wurzelziehen, geht es aber dann in der Tat nicht mehr. Da kannst Du mit 20 Nachkommastellen rechnen, und beim Rückpotenzieren kommt nicht genau die 2 heraus.
Das sind so mathematische Flosken mit denen ein Profi den Laien hinters Licht führt.
Wennn man allerdings mit aktuellen Taschnerechner rechnet, kommt schon dasselbe heraus beim Rückrechnen.
LG,
Heni
Man kann die Rechenschritte rückwärts rechnen und dann kommt exakt (!) der Ausgangswert raus.
Es gibt Ausnahmen, z.B. wenn man mit 0 multipliziert oder eine negative Zahl quadriert hat.
Nein 1/7 ist nicht 0,1428571, sondern ein periodischer Dezimalbruch.
Zum Nachweis der Gleichheit reeller Zahlen ist ein Taschenrechner ungeeignet.
In der Folge Im Schatten des Genies der Simpsons schreibt Homer Simpson ein vermeintliches Gegenbeispiel für den großen fermatschen Satz an eine Tafel: den Ausdruck 3987^12+4365^12=4472^12, bei dem die Differenz zwischen beiden Seiten in einfachen Taschenrechnern als Null erscheint. Es handelt sich jedoch natürlich nicht um eine tatsächliche Lösung, sondern nur um eine Folge der Beschränktheit eines solchen Taschenrechners:
Quelle:
sondern ein periodischer Dezimalbruch.
Und genau das meint der Lehrer. Ein periodischer Dezimalbruch kann nie exakt angegeben werden, sondern immer nur gerundet bzw. mit einem Limes.
"sondern ein periodischer Dezimalbruch" ist jedenfalls kein Gegenbeispiel einer exakten Zahl.
sondern nur um eine Folge der Beschränktheit eines solchen Taschenrechners:
Papier und Bleistift haben ebenfalls eine Beschränktheit..und wenn es notfalls die Lebenszeit des Mathematikers ist.
Es kommt drauf an, ob Operatoren hermitesch sind.
Diese Antwort dürfte der Fragesteller kaum verstehen. Man sieht doch an den Fragen, was jemand weiß.
Ein Schulbeispiel, wie der Fragende und Antwortende aneinander vorbei reden. Der Fragesteller redet von Grundrechenarten und der Anwortende von Hilberträumen und ähnlichem. Man kann über sowas nur amüsiert sein.
An einem Beispiel für das "unexakte" bin ich durchaus interessiert.