Matheaufgabe/jjjjkj?
Hey ich benötige Hilfe bei einer matheaufgabe die ich nicht so richtig verstehe:
Eine Schafweide soll mit einem 200 Meter langen elektrozaun rechteckig eingezäunt werden. An der Seite ist ein Fluss,an dem man keinen Zaun benötigt. Die eingezäunte Weide soll möglichst groß sein. Wie lang und breit wird sie?
Schonmal Danke, LG
1 Antwort
Du hast ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Zaun benötigst du 2·a+b=200m und der Flächeninhalt ist a·b und der soll maximiert werden.
Die erste Bedingung stellst du um zu b=200m-2·a und setzt das in die Flächeninhaltsformel ein. Ergibt: a·(200m-2·a). Diesen Wert sollst du maximieren. Das ist offensichtlich ein quadratischer Ausdruck bezüglich a. Also musst du das Maximum einer quadratischen Funktion bestimmen.
Mit quadratischer Ergänzung erhältst du: 200m·a - 2·a² = 5000m² - 2·(a-50m)²
Der zweite Ausdruck wird am größten, wenn (a-50m)² am kleinsten ist. Das ist offensichtlich für a=50m der Fall. In diesem Falle beträgt die Fläche 5000m², was die maximal erreichbare Fläche ist. Die optimale Seitenlänge b ist dann 100m.
Das entspricht übrigens gerade einem halben regelmäßigen Sechseck mit der Seitenlänge 200m/3.
Übrigens, wenn man bei 4 Pflöcken und 200m Zaun bleibt, dann kann man mit einem Trapez noch mehr Fläche, nämlich etwas mehr als 5773m² einzäunen. Die Koordinaten der Eckpunkte des optimalen Vierecks sind 100m·{(-2/3,0), (-1/3,1/√3), (1/3,1/√3), (2/3,0)}.