Mathe: Was ist der Unterschied zwischen Kontraposition und einem indirekten Beweis?

Das Gegenteil von A->B ist (A und ¬B). Nun zeigt man, dass dieses Gegenteil auf einen Widerspruch stößt, man zeigt also (A und ¬B) -> falsch. Die Kontraposition dieser Aussage ist dann wahr -> (A->B), also der Beweis für (A->B).

Eine Kontraposition von A->B ist (¬B -> ¬A), auch das ist ein Beweis für (A->B).

Was ist der Unterschied?

Bei der Kontraposition benutzt man als Ausgang nur ¬B und zeigt dann ¬A, beim indirekten Beweis kann man zwei Dinge benutzen, nämlich A und ¬B (siehe oben), man hat bei einem indirekten Beweis also zwei Voraussetzungen, mit denen man arbeiten kann. Wenn man jedoch A nicht im Beweis benutzt, dann ist es auch kein richtiger indirekter Beweis, sondern direkt die Kontraposition.

Eine Kontraposition ist allgemein eine bestimmte Art von Äquivalenzumformung in der Aussagenlogik. (Umkehrung der Implikation bei gleichzeitiger Negation der Einzelaussagen: (A -> B) <=> (¬B -> ¬A) )

Ein indirekter Beweis ist ein Beweis, der eine Kontraposition verwendet.

Beides ist dasselbe nur anders ausgedrückt.

Direkter beweis:

A --> B

Indirekter Beweis, bzw. Kontaposition:

nicht B --> nicht A