Wie Beweis durch Kontraposition?
Ich soll beweisen dass "wenn n ∈ ℕ keine Quadratzahl ist, so ist √n irrational". Ich will das mit dem Beweis durch Kontraposition machen, jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich das machen kann. Ich fange damit an zu zeigen dass, ¬B = √n ist rational. Das zeige ich indem ich √n =a/b mit a, b ∈ ℕ. Danach quadriere ich beide Seiten, aber was mir das so bringt weiß ich nicht. Was würde überhaupt der nächste Schritt sein?
2 Antworten
Was kommt denn raus, wenn du auf beiden Seiten quadrierst? Erinnere dich daran, dass du am Ende zu zeigen hast, dass n eine Quadratzahl ist - kannst du den Ausdruck, der durch das Quadrieren entsteht, vielleicht als Quadratzahl darstellen?
Wenn n keine Quadratzahl ist, dann ist die (Quadrat-)Wurzel aus n irrational.
Nun folgt ein indirekter Beweis (¬B => ¬A). Dies ist natürlich eine Kontrapostion.
Wir können es aber mit einem Widerspruch leichter beweisen. Dazu nehmen wir an, die Quadratwurzel aus n sei nicht irrational.
Daraus folgt, dass √n in der Form a/b darstellbar ist, wobei angenommen werden kann, dass a und b teilerfremd sind. Zudem unterscheiden wir die beiden Fälle b = 1 und b > 1. Zuerst b > 1:
Wenn wir mit 2 potenzieren, erhalten wir a^2/b^2, also - wegen der Teilerfremdheit von a und b - wieder einen echt rationalen Ausdruck. Somit ist n keine natürliche Zahl. Was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre.
Mit b = 1 wäre √n = a. Potenzieren mit 2 liefert n = a^2. Hier sehen wir sofort, dass n eine Quadratzahl ist, was auch zu einem Widerspruch der Voraussetzung folgt.
Somit muss die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl, die keine Quadratzahl ist, irrational sein. ■
meinst du n^2=a^2/b^2 ?