Mathe Ungleichungen?
Hallo zusammen,
Ich bei dieser Aufgabe auf dem Schlauch. Ich habe die erste Aufgabe ohne Probleme lösen können (hab nur den ersten Abschnitt auf Foto) bei der anderen Aufgabe zieht mein Professor das ´´–´´ raus und verändert somit das ganze Ergebnis. Meine Frage ist lediglich warum bei dieser Aufgabe das ´´–´´ rausgezogen wird aber bei der anderen nicht ? Welche Gesetz übersehe ich ?
2 Antworten
Hallo,
Bei Ungleichungen drehen sich Ungleichheitszeichen immer dann um, wenn die Gleichung mit einem negativen Term multipliziert oder dividiert wird.
Bei Betragsstrichen ist es so, daß sie weggelassen werden können, wenn der Term innerhalb ihrer positiv oder Null ist. Ist er negativ, können die Betragsstriche durch eine Klammer mit einem Minus davor ersetzt werden (oder eine eventuelle Differenz wird umgedreht, so daß auch a-b b-a wird.
Hier sind also Fallunterscheidungen nötig.
Zunächst einmal geht es um den Nenner auf der linken Seite: |2x-3|.
Die Ungleichung muß mit diesem multipliziert werden. Ist er positiv oder Null, läßt man das Ungleichheitszeichen unverändert, ist er negativ, dreht man es um.
2x-3 ist immer positiv oder Null, wenn x>=3/2. Das ist die erste Fallunterscheidung.
x>=3/2, dann |1-x|<2*(2x-3).
Innerhalb dieses Falls kann man die Betragsstriche einfach weglassen, wenn x<=1.
Da wir im Moment aber die Voraussetzung haben, daß x>=3/2, fällt hier x<=1 natürlich weg. Das bedeutet: 1-x wird hier immer negativ. Läßt Du die Betragsstriche weg, mußt Du die Differenz zu x-1 umdrehen.
Nun gilt für x>=3/2: x-1<4x-6, also x>5/3. 5/3 ist größer als 3/2, also muß die Grenze etwas nach rechts verschoben werden: Erst für x, die größer als 5/3 sind, wird der Bruch kleiner als 2.
Nun wird untersucht, was passiert, wenn x<3/2 ist.
In diesem Fall können die Betragsstriche entfernt werden, wenn man die Differenz zu 3-2x umdreht: |1-x|<2*(3-2x)
Links sind noch Betragsstriche übrig. Für x<=1 können sie weggelassen werden. Wir sind hier also im Bereich x<=1, denn 1 ist kleiner als 3/2. Nun gilt:
1-x<6-4x, also 3x<5 und x<5/3. 5/3 ist größer als 1, es bleibt also bei x<1.
Ist x<3/2, aber größer als 1, muß die Differenz im Zähler umgedreht werden und es entsteht die Ungleichung x-1<6-4x, also 5x<7 und x<7/5. 7/5 ist kleiner als 3/2 und setzt eine neue Grenze für diesen Fall: Im Bereich zwischen 1 und 3/2 gilt die Ungleichung, wenn x<7/5 ist.
Für den Bereich kleiner als 1 gilt die Voraussetzung, daß x<1, was ebenfall links von 7/5 liegt. So gilt die Ungleichung, wenn x<7/5 ist oder x>5/3.
Nur der schmale Bereich zwischen diesen beiden Grenzen liegt also oberhalb von y=2.
Herzliche Grüße,
Willy
|-x-1| = | -1*(x+1)| = |x+1|
und
|-x+1| = | -1*(x-1)| = |x-1|
Wenn Du mit |-x--1| auf ein anderes Ergebnis kommst, machst Du an irgendeiner Stelle einen Rechenfehler. Man kann auch mit |-x--1| eine Fallunterscheidung machen, und die sollte sich von |x+1| nicht unterscheiden.
Vielen Dank für die schnelle Antwort, mir stellt sich nun nur noch die Frage wieso ich nicht von Anfang an mit dem |-x-1| rechne, sondern es noch umforme zu dem |x+1|. Man kommt mit beiden auf jeweils ein Ergebnis, allerdings ist nur der eine Rechenweg (|x+1|) richtig. Also woran erkenne ich dass |x+1| mich auf das richtige Ergebnis führ und das andere nicht ?
vielen Dank schonmal !