Mathe Hausaufgaben?
Also ich versteh einfach meine Mathe Hausaufgaben nicht und ich hab einen sehr schlimmen Mathe Lehrer kann mir da bitte jemand weiter helfen die frage lautet so : kommissarin lena o. Hat neun Verdächtige verhört,unter denen sich vier lange gesuchten Einbrecher befinden . Sie nimmt drei der Verdächtigen fest und alle entpuppen sich als Einbrecher. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hätte die Kommissarin rein zufällig so ein gutes Ergebnis erzielt?
4 Antworten
Hallo,
diese Art von Aufgaben lassen sich am einfachsten über die hypergeometrische Verteilung lösen. Dazu mußt Du allerdings wissen, wie man Binomialkoeffizienten berechnet.
Ein Binomialkoeffizient sind zwei Zahlen, die in einer Klammer übereinander stehen und wird n über k gesprochen, wobei n und k zwei natürliche Zahlen sind und k nicht größer als n sein darf. Zum beispiel 3 über 2, 7 über 5, 6 über 6 usw.
Ausgerechnet wird das so:
n!/[k!*(n-k)!]
Die Ausrufungszeichen bedeuten Fakultät. 4! rechnest Du 1*2*3*4=24
5! ist 1*2*3*4*5=120 usw.
0! ist gleich 1.
7 über 3 ist dann 7![3!*(7-3)!)=(1*2*3*4*5*6*7)/(1*2*3*1*2*3*4)
1*2*3*4 kannst Du schon mal kürzen, bleibt (5*6*7)/(1*2*3)
Da 1*2*3 gleich 6, kannst Du gegen die 6 im Zähler kürzen, bleibt 5*7=35.
Das mußt Du wissen, wenn Du Dich an die hypergeometrische Verteilung machst.
Du hast also 9 Verdächtige, davon sind 4 Verbrecher. 3 Verdächtige werden festgenommen, alle 3 sind Verbrecher, 0 sind kein Verbrecher.
Die drei Festgenommenen stammen also alle aus der Gruppe der 4 Verbrecher, ergibt (4 über 3)
0 der Festgenommenen stammt aus der Gruppe der braven Bürger, ergibt
(5 über 0) (Da es insgesamt 9 Verdächtige sind und 4 von ihnen Spitzbuben, bleiben 5 mit weißer Weste übrig).
Insgesamt wurden 3 Leute aus einer Gruppe von 9 Leuten verhaftet.
So rechnest Du [(4 über 3)*(5 über 0)]/(9 über 3)
Wenn Du die Binomialkoeffizienten nicht per Hand ausrechnen möchtest, nimmst Du den Taschenrechner. Der hat - hoffentlich - eine Taste, auf der nCr steht.
4 über 3 ist 4 nCr 3 gleich 4
5 nCr 0=1
9 nCr 3=84
Also:
(4*1)/84=4/84=1/21=0,0476 oder 4,76 %
So hoch war die Wahrscheinlichkeit für diesen Glücksgriff.
Das mit den Binomialkoeffizienten stammt aus der Kombinatorik.
Der Binomialkoeffizient n über k verrät Dir unter anderem, auf wieviele Arten Du k Elemente aus einer Menge von n Elementen auswählen kannst, wenn es nicht auf die Reihenfolge ankommt, in der die k Elemente gezogen wurden.
Beispiel: Du hast zehn durchnummerierte Kugeln in einer Urne und ziehst drei von ihnen heraus. Dann gibt es (10 über 3)=10!/(3!*7!)=(8*9*10)/(1*2*3)=120 unterschiedliche Kombinationen von Kugeln, wobei 1,2,3 und 2,1,3 oder 3,2,1 als identisch gelten, weil immer nur die Kugeln Nr. 1, Nr. 2 und Nr. 3 gezogen wurden.
Außerdem werden die Kugeln nach dem Ziehen nicht wieder in die Urne zurückgelegt (die Verbrecher wurden ja auch nicht wieder laufengelassen).
Also: Hypergeometrische Verteilung immer dann, wenn es auf die Reihenfolge, in der gezogen wurde, nicht ankommt und wenn gezogene Kugeln nicht zurückgelegt werden (verhaftete Verbrecher nicht wieder freigelassen).
Herzliche Grüße,
Willy
Mit meiner Methode löst Du aber Aufgaben, die Du nicht mehr mal eben mit einem Baumdiagramm lösen kannst, weil sie zu komplex werden.
Wenn die Kommissarin rein Zufällig drei aus den neun Verdächtigen festgenommen hätte, dann wäre beim ersten, die Chance dass er ein Einbrecher ist 4/9 (4 von 9 Verdächtigen sind Einbrecher).
Jetzt sind nur noch 8 Verdächtige da, darunter 3 Einbrecher. Nimmt sie wieder zufällig einen fest, wäre die Chance, dass er ein Einbrecher ist 3/8.
Beim dritten ist die Chance 2/7
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit 3 zufälligen Festnamen 3 Einbrecher festgenommen hätte:
4/9 * 3/8 * 2/7 = 24/504 = 1/21 = 0,0476 = 4,76 %
Es gibt ja 4 Einbrecher und 9 insgesamt.
Das heißt, die Wahrscheinlichkeit einen Einbrecher zu wählen, ist 4/9.
Wenn ich also jetzt die erste Person auswähle, ist die Wahrscheinlichkeit einen Einbrecher zu wählen 4/9.
Beim zweiten Mal stehen da nur noch 8 Personen. Wir betrachten jetzt nur den Fall, das wir beim ersten Mal einen Einbrecher erwischt haben. Dann hat man jetzt eine Wahrscheinlichkeit von 3/8, wieder einen Einbrecher zu erwischen.
Beim dritten Mal sind nur noch 7 Personen da und 2 Einbrecher darunter. Also erwischt man einen Einbrecher mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/7.
Wenn man wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass zwei oder mehr Ereignisse nacheinander auftreten, dann muss man die Einzelwahrscheinlichkeiten multiplizieren.
Also: P(3 Einbrecher wählen) = 4/9*3/8*2/7 = 1/21 = 0.048 (gerundet). Also 4.8 % Wahrscheinlichkeit.
Wichtig ist, dass du die Denkweise verstehst! (damit du auch in Zukunft solche Aufgaben lösen kannst).
Zeichne ein baumdiagramm das ist sehr einfach:
Die chance das sie einen dieb erwischt liegt bei 4 zu 9. Als bruch: 4/9. Hat sie diesen dieb sind noch 3 diebe im pool und insgesamt noch 8 verdächtige. Macht also 3 zu 8 oder 3/8. Jez sind noch 7 personen da und 2 davon sind diebe also 2 zu 7 oder 2/7. Diese drei brüche multiplizierst du jetzt:
4/9 mal 3/8 mal 2/7=1/21=4,76%
ich hatte das,selbe ergebnis,in 2 minuten raus ohne taschenrechner oder sonst was einfach logisch denken und ein baum diagramm zeichnen. is doch viel einfacher als dein kaudawelsch :D