Mathe, extremen Werte?
Ich soll die extremwerte vom rechteck im dreieck bestimmen. Die Aufgabe lautet :
In der Skizze ist ein Querschnitt eines Dachgeschoss der Höhe 4,8m und Breite 8m dargestellt.
In diesem Dachgeschoss soll ein möglichst großes Zimmer entstehen.
Begründe ob man dies für bestimmte Maße erzielen kann.
Meine Rechnung lautet:
1) Die Hauptbedingung ist :a*b und bei 2)a muss kleiner als 8 sein u. b muss kleiner als, 8 sein, dadachte ich mir meine Nebenfunktion kann ich mit dem Umfang vom Rechteck berechnen
Also Nebenfunktion :2a+2b
NB :2*(a-8)+2(b-4,8)
NB:2a-16+2b-9,6
NB:2a-16+2b-9,6 /(2b-9,6)
2b-9,6 =2a - 16 /+16
2b +6,4=2a /:2
- b+3,2 =a
a=3,2-b
Zielfunktion :
A(b) =(3, 2-b) *b
Definitionsbereich :
b ist größer als 0 und kleiner als 4,8
Also 0<b>4,8
Extremwerte bestimmen :
A(b) = 3,2-b-b²
A'(b)=3,2-2b
A''(b)= - 2
Notwendie Bedienung :
A' =0
0=3,2-2b /+2b
2b=3,2 /:2
b =1,6
Hinreichende Bedienung :
A''≠0
A''(1,6)=-2 --> Hochpunkt
Funktionswert bestimmen :
A(1,6) =(3, 2-1,6)*1,6
= 2,56m² Hab ich irgendwas falsch gemacht? Bitte helft mir?!
7 Antworten
Ich kann Deiner Rechnung nicht folgen, macht aber nichts. Mir fällt nur erst einmal auf:
Sollen alle Wände senkrecht sein?
Welche Deckenhöhe ist gefordert?
Wie tief ist der Raum? (Ohne dieses Angaben kann man keine m² ausrechnen)
Grundsätzlich kann man auch einen Raum mit Schräge und voller Höhe nutzen. Dann hätte die Grundfläche die Breite von 8 m.
Gib mir das Maß b und die Tiefe des Raumes, dann rechne ich Dir das in wenigen Schritten aus. Dafür braucht man nur den Pythagoras und die Winkelfunktionen.
Wir sollten extremwerte ausrechnen ohne Satz des pythagoras
Hallo,
es ist einfacher, wenn Du das Dreieck so einzeichnest, daß die y-Achse durch den Giebel geht und Du nur eine Hälfte (etwa die rechts von der y-Achse) betrachtest.
Wegen der Symmetrie gilt: Hat die rechte Hälfte (oder die linke) eine extreme Fläche, gilt dies auch für beide Hälften zusammen.
Der Giebel liegt dann bei Punkt (0|4,8), die rechte Dachschräge berührt bei (4|0) den Boden.
Somit hat die Gerade, die diese Dachschräge beschreibt, die Gleichung
y=-1,2x+4,8.
Die 1,2 bekommst Du, wenn Du die Höhe (4,8) durch den x-Wert des Nullpunktes teilst (4); das Minus kommt davor, weil die rechte Dachhälfte eine fallende Gerade darstellt.
Das Rechteck, das dann innerhalb des rechten Dreiecks maximiert werden soll, hat dann die Fläche x*y, also x*(-1,2x+4,8)=-1,2x²+4,8x.
Das ist die Zielfunktion. Ableitung bilden, auf Null setzen, nach x auflösen und daran denken, daß Du nur das halbe Rechteck berechnet hast. Die andere Hälfte liegt spiegelbildlich dazu links von der y-Achse.
Übrigens: Bei solchen Aufgaben (Rechteck im gleichschenkligen Dreieck) hast Du immer dann die maximale Fläche, wenn sich die Höhe des Rechtecks zu seiner Breite genauso verhält wie die Höhe des Dreiecks zu seiner Grundseite.
Auf jeden Fall bekommst Du x=2 also Lösung. Links geht das Rechteck dann bis -2, hat also eine Breite von 4 Einheiten. Die Höhe bekommst Du, wenn Du 2 oder -2 für x in die Geradengleichung einsetzt. Wegen der Achsensymmetrie bekommst Du für beide Werte natürlich den gleichen Funktionswert heraus.
Herzliche Grüße,
Willy
1,2 ist das Verhältnis von Höhe zu Breite des halben Dreiecks: 4,8/4=1,2
4,8 ist die Höhe des Giebels, also der y-Achsenabschnitt.
Geradengleichung: y=mx+b.
m ist die Steigung, b ist der Punkt, an dem die y-Achse geschnitten wird.
Den oberen Teil konnte ich nicht nachvollziehen, der weitere Rechenweg sieht gut aus.
Daher mit wenigen Worten, wie ich den Ansatz beschreibe.
a und b sind linear voneinander abhängig. In den Extremwerten ist abzulesen:
Wenn a = 0 ist, ist b = 4,8
Wenn a = 8 ist, ist b = 0.
Daraus eine Geradengleichung oder Umformung:
b = 4,8 - (4,8a/8). Ich glaube, du hast nach a aufgelöst ?? Habe nicht nachgerechnet.
Optiomieren: A = ab = ... (b ersetzen).
Dann wie von dir ableiten etc.
Ich wäre wie folgt vorgegangen:
A=a*b
ist klar, Flächeninhalt vom Rechteck halt.
Ich würde dann das Koordinatenkreuz so legen dass die y-achse durch die symmetrieachse des dreiecks geht.
also snekrecht durch die mitte, ursprung auf dem unteren rand.
Funktionsgleichung ist dann:
f(x)=mx+n
=4,8+x*(-4,8/4 )
bzw. mit deinen bezeichnungen:
b=4,8-1,2*a
Damit ergibt sich der Flächeninhalt zu
A=a*b=a*(4,8-1,2*a)
kannst du Ausklammern, ableiung davon gleich 0 setzen, extremwert bestimmen :-)
Hauptbedingung:
A(Rechteck) = a * b
Nebenbedingung:
4,8 / (8/2) = b / ((8 – a) / 2)
b = 4,8 – 0,6 * a
A = a * (4,8 – 0,6 * a)
A = 4,8 * a – 0,6 * a²
A' = 4,8 – 1,2 * a
0 = 4,8 – 1,2 * a
a = 4
A'' = -1,2 (max)
b = 4,8 – 0,6 * 4
b = 2,4
A = 4 m * 2,4 m = 9,6 m²
Ich würde aber dann nur die Fläche vom Dreieck rechnen und ich dachte ich muss die Fläche vom rechteck
Wie kommst du auf 1,2 hä😨