[Mathe] Aussagen begründen oder widerlegen?
Guten Abend,
bei der folgenden Aufgabe benötige ich noch eine alternative Lösung für Aufgabenteil (3). Denn diese Skizze und diese Begründung würde ich ungerne in einer Prüfung zeichnen, da solche Aufgaben wahrscheinlich nicht so viele Punkte geben und die Zeit knapp ist. Ich würde in diesem Fall lieber ganz auf eine Begründung setzen, sofern dies möglich ist.
Wie seht ihr das? Würdet ihr gerne diese Begründung wie bei (3) wählen?
Ich freue mich über eure hilfreichen Antworten und über eine Begründung von Aufgabenteil (3) ohne eine dafür notwendige Skizze/Zeichnung. :-)
2 Antworten
Da eine Aussage ja durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt werden kann, was auch in (1) passiert, ist diese Methode auch in (3) angebracht, wobei das graphische Gegenbeispiel wie hier in der Musterlösung durchaus sehr schnell zu machen ist, jedenfalls schneller als eine analytische Begründung:
Das hier ist die Grundform des Graphen einer Polynomfunktion 4. Grades:
Hier haben wir jeweils das Maximum an:
Nullstellen: 4
Extrema: 3
Wendestellen: 2
Nun muss man nur den rechten Tiefpunkt über den mittleren Hochpunkt ziehen, und schon verschwinden 2 Extrema, aber die 2 Wendepunkte bleiben. Das ist gleichbedeutend damit, den rechten Wendepunkt über den mittleren Hochpunkt zu schieben. Dazu braucht man keine Formel und keine Wertetabelle, das wurde in der Lösungsskizze einfach mal frei Schnauze so gemacht.....und das ist in 10 Sekunden locker zu erledigen.
Analytisch erzeugtes Gegenbeispiel:
Ein Gegenbeispiel muss z.B. folgenede Kriterien erfüllen:
f': Funktion 3. Grades mit 2 Lösungen für f'(x) = 0
f'': Funktion 2. Grades mit 2 Lösungen für f"(x) = 0
f' ' ' Funktion 1 Grades mit f(xw) ≠ 0,
Das dröseln wir von hinten auf:
f' ' '(x) = x + 1 ..ist immer ≠ 0 für xw ≠ 1
f'''(xw) = 1/2 x^2 + x....2 Nullstellen mit xw ≠ 1
f'(x) = 1/6 x^3 + 1/2 x^2 + 1 ....1 Nullstelle
f(x) = 1/24 x^4 + 1/6 x^3 + x
Der Graph dazu würde so aussehen:
..und entspricht damit wieder der Skizze.
Man könnte sagen:
"Aussage ist falsch, da sich der Koeffizient des Terms b*x^3 so wählen lässt, dass der charakteristische Sattelpunkt einer Polynomfunktion dritten Grades dominiert. (Die Koeffizienten aller Terme niedrigerer Ordnung sind dabei Null.) Somit steigt die Funktion um den Extrempunkt monoton und ein Sattelpunkt entsteht im Ursprung. Der Sattelpunkt selbst stellt damit bereits einen Wendepunkt dar."