Mathe - Verlauf des Graphen, Eigenschaften, Näherungsfunktionen?
Hallo, ich soll zu der Funktion
die drei oben genannten Aufgaben machen.
(Aufgabenstellung: Skizzieren Sie ohne Verwendung eines GTR den Verlauf des Graphen und nennen Sie Eigenschaften und Näherungsfunktionen.)
Kann mir vielleicht einer dabei helfen und mir sagen, wie man da vorgeht?
... muss das alles morgen abschicken und hab noch 2 Aufgaben der Art vor mir... :-(
Ich bedanke mich im Voraus,
LG Niko
2 Antworten
f(x)=e^(x)+1/2*x ist eine Überlagerung von 2 Funktionen h(x)=f(x)+f(x)
f(x)=e^(x) ist eine Exponentialfunktion,die monoton steigent ist f´(x)=m>0
g(x)=1/2*x ist eine Gerade der Form g(x)=m*x m=0,5 >0 geht durch den Ursprung
x=0 → f(0)=e⁰+1/2*0=1 Schnittpunkt mit der y-Achse bei P(0/1)
für x>0 ist f(x)=e^(x) >0 und g(x)=1/2*x >0 also keine Nullstellen x≥0
für x<0 x=-1
f(-1)=e^(-1)+0,5*(-1)=1/e¹-0,5=1/2,718-0,5=0,3679-0,5=-0,132..
bedeutet zwischen x1=-1 und x2=0 eine Nullstelle
Näherung könnte sein,für x>0 eine Parabel der Form y=f(x)=a*x²+1 mit a>1
Punkte einsetzen und denken sind hier die Ansätze
Und man sollte wissen wie e^x und 0.5x verlaufen
Beliebte Punkte sind -1, 0 und +1
e ist 2.718.. ich rechne nur hier mit 3
f(-1) = 1/3 + 0.5*-1 = -1/6
aha ! unterhalb der x-Achse
f(0) = e^0 + 0.5*0 = 1
aha ! oberhalb der x-Achse
irgendwo zwischen -1 und 0 ist also eine Nullstelle.
f(1) = e^1 + 0.5*1 = 3.218
bringt nicht so viel
Die drei Punkte kann man schon mal eintragen .
wie sieht es nun bei sehr großen und bei sehr kleinen x-Werten aus ?
Das heißt , wie verläuft die Kurve, wenn man sie in Richtung + bzw - unendlich betrachtet
Minuswerte
e hoch großer Minuswert wird sehr klein
beispiel: : : e hoch -1000 = 1/e^1000
Geht also nicht weit weg von der x-Achse.
Aber da ist ja noch 0.5x ! dieser Anteil in der Fkt dominiert und ist daher zugleich die Näherungsfkt
Pluswerte.
Hier dominiert e^x und 0.5 kann man vernachlässigen
e^x ist also in diesem Bereich Näh-Fkt.
Ableitung kennt ihr ja schon , oder ?
Was jetzt kommt , kann man alles im Kopf machen!
f'(x) = e^x + 0.5
0 = e^x + 0.5
-0.5 = e^x
Wissen muss man : e^x kann nicht negativ werden, daher hat die Fkt kein Extremum
Wie sieht es mit Wendepunkten aus ?
f''(x) = e^x
kann wie gesagt nicht Null werden, also auch keine WP
Jetzt kann man skizzieren
Links sieht sie eher wie eine Gerade aus , rechts wie die e^x - Fkt .
Mal gucken , obs auch im Bild erkennbar ist
passt doch , den rechten Ast auch noch sichtbarer machen :
