Lösung Differentialgleichung?

Bei meiner Aufgabenstellung ist das folgende DGL gegeben: y′′′(x) + y′(x) = 4x+1.

Ich soll die allgemeine Lösung bestimmen.

Ich habe als homogene Lösung: c1+c2*cos(x)+c3*sin(x)

Als partikuläre Lösung: 4x^2+x+b

Und als allgemeine Lösung: y(x)=c1+c2*cos(x)+c3*sin(x)+4*x^2+x+b

Habe ich hier alles richtig gerechnet?

Answer 1

[mihisu]

Die von dir berechnete homogene Lösung ist richtig.

Die von dir berechnete partikuläre Lösung ist falsch. [Mal davon abgesehen ist der Parameter b unnötig. Du brauchst nur eine einzelne partikuläre Lösung. Das b wird dann am Ende sowieso bei der homogenen Lösung mit dem Parameter c1 berücksichtigt.] Jedenfalls... Probe...

$y_\text{p}(x)=4x^2+x+b$

$y_\text{p}'(x)=8x+1$

$y_\text{p}''(x)=8$

$y_\text{p}'''(x)=0$

$y_\text{p}'''(x)+y_\text{p}'(x)=0+8x+1=8x+1\ne 4x + 1$

[Probe nicht bestanden]

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Der Ansatz für die partikuläre Lösung sieht aber gar nicht so verkehrt aus. Vielleicht hast du dich einfach nur verrechnet, so dass du versehentlich auf eine 4 statt auf eine 2 vor dem x² gekommen bist.

Man könnte beispielsweise 2x² + x als partikuläre Lösung erhalten, indem man x ⋅ (ax + b) bzw. ax² + bx ansetzt und so...

$y_\text{p}(x)=ax^2+bx$

$y_\text{p}'(x)=2ax+b$

$y_\text{p}''(x)=2a$

$y_\text{p}'''(x)=0$

$y_\text{p}'''+y_\text{p}'''=4x+1\quad\Leftrightarrow\quad 0+2ax+b=4x+1$

$\quad \Leftrightarrow\quad 2ax+b=4x+1$

$\quad \Leftrightarrow\quad 2a=4\ \text{ und }\ b=1$

$\quad \Leftrightarrow\quad a=2\ \text{ und }\ b=1$

$y_\text{p}(x)=ax^2+bx=2x^2+1x=2x^2+x$

... erhält.

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Wegen der falschen partikulären Lösung bist du dann natürlich auch auf die falsche allgemeine Lösung gekommen. Richtig wäre stattdessen beispielsweise...

$y(x)=c_1+c_2\cdot \cos(x)+c_3\cdot \sin(x)+2x^2+x$

Answer 2

[ChrisGE1267]

c_1 und b kannst Du noch zu einer Gesamt-Konstanten c zusammenfassen; ansonsten sieht das gut aus…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie