Lösung der Schrödinger Gleichung?
Hallo zusammen,
mich würde es interessieren wie die Lösung der Schrödinger Gleichung bezüglich eines festen Teilchens aussieht? Gibt es überhaupt eine? Wenn ja was ist der Unterschied zudem und der Lösung von einem gebundenen Teilchen? Ich würde mich über eine Antwort freuen! Danke im Voraus:)
5 Antworten
Es gibt soweit ich weiß verschiedene Ansätze, für die man die Schrödingergleichung (sehr kompliziert) lösen kann und für die dies auch Sinn ergibt. Generell sind partielle Differentialgleichungen extrem ekelhaft.
- Teilchen im Kasten (ohne Tunneln)
- Teilchen im Kasten (mit Tunneln)
- Molekülrotation (Mikrowellenspektren)
- Molekülschwingung (IR-Spektren)
- Wasserstoffatom (am wichtigsten!)
Die Lösung für den Wasserstoff liefert die Quantenzahlen n, l, m der Elektronen. Es war der erste Erfolg der Quantenmechanik, das Spektrum des H°, des He+, Li2+ usw. zu berechnen.
Mehr als 2 Teilchen sind geschlossen nicht lösbar, die bessere Dirac-Gleichung ist zusätzlich noch relativistisch und bezieht Spins mit ein. Noch bessere Ergebnisse liefert die Quantenelektrodynamik. Mehrteilchensysteme muss man numerisch behandeln. Dies kann man inzwischen gut mit Rechnerhilfe.
Weitere Anwendungen liegen in der Festkörperphysik, wo die Elektronen teils völlig delokalisiert sind.
Für ein freies Teilchen müsste doch der Hamilton-Operator einfach den Impuls-Operator beinhalten, da es ungebunden ist. Es gilt H = T + V; V verschwindet. Hier eine 1D-Lösung: https://de.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6dingergleichung#Eindimensionales_freies_Teilchen
Ja, es gibt eine Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein festes Teilchen. Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das Verhalten von quantenmechanischen Teilchen und ihre Wellenfunktion. Für ein festes Teilchen, das sich nicht bewegt, ist die Schrödinger-Gleichung eine stationäre Gleichung, da sich die Wellenfunktion nicht mit der Zeit ändert. Die stationäre Schrödinger-Gleichung für ein festes Teilchen lautet: Hψ = Eψ
Hierbei ist H der Hamilton-Operator, der die Energie des Teilchens beschreibt, ψ ist die Wellenfunktion des Teilchens und E ist die Energie des Teilchens. Die Lösung dieser Gleichung ergibt die möglichen Zustände und Energien des festen Teilchens. Die genaue Form der Lösung hängt von den spezifischen Bedingungen des Systems ab, wie z.B. dem Potential, in dem sich das Teilchen befindet. In einfachen Fällen, wie einem Teilchen in einem unendlich hohen Potentialtopf, kann die Lösung analytisch gefunden werden.
In komplexeren Fällen, wie einem Teilchen in einem Potential, das von der Position abhängt, müssen numerische Methoden verwendet werden, um die Lösung zu finden. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein festes Teilchen ermöglicht es, die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teilchens in verschiedenen Zuständen zu bestimmen und Vorhersagen über seine Eigenschaften zu machen
Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Bewegung von Teilchen in einem Potential beschreibt. Sie kann sowohl für freie Teilchen als auch für gebundene Teilchen verwendet werden.
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen ist eine Wellenfunktion, die die Wahrscheinlichkeit beschreibt, das Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden. Die Wellenfunktion eines freien Teilchens ist eine sinusförmige Funktion, die sich mit der Zeit ausbreitet.
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein gebundenes Teilchen ist eine Wellenfunktion, die an einem bestimmten Ort lokalisiert ist. Die Wellenfunktion eines gebundenen Teilchens ist eine stehende Welle, die nicht mit der Zeit ausbreitet.
Der Unterschied zwischen den Lösungen für freie und gebundene Teilchen ist also, dass die Lösung für ein freies Teilchen keine feste Position hat, während die Lösung für ein gebundenes Teilchen eine feste Position hat.
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein festes Teilchen ist eine Wellenfunktion, die sich nicht ausbreitet und an einem bestimmten Ort lokalisiert ist. Diese Lösung ist also eine Lösung für ein gebundenes Teilchen.
Ein Beispiel für ein festes Teilchen ist ein Elektron, das an einem Atomkern gebunden ist. Die Wellenfunktion des Elektrons ist eine stehende Welle, die im Atomkern lokalisiert ist.
Die Lösung der Schrödinger-Gleichung für ein festes Teilchen ist wichtig für die Beschreibung der Eigenschaften von gebundenen Systemen. Mit der Lösung der Schrödinger-Gleichung kann man zum Beispiel die Energieniveaus von Atomen und Molekülen berechnen.
Die Lösung der Schrödinger Gleichung kann nur in sehr eingeschränkten Fällen in geschlossener Form angegeben werden. Bereits für einfache Fälle wie ein Heliumatom müssen komplexe numerische Verfahren verwendet werden. Einige Beispiele findest du hier
Was verstehst Du unter "festem" Teilchen?
Zum Verständnis: Ein "freies" Teilchen ist keinem Potentialfeld ausgesetzt. Im Hamiltonoperator fehlt dieser Anteil.
Was Du meinst sind wohl Teilchen in einem Potentialfeld V(r,t). Die Lösung ist dann für jedes Potentialfeld V(r,t) entsprechend zu berechnen.