LGS in Z/5Z lösen?
Ich habe das LGS in Zeilenstufenform gebracht und berücksichtigt, dass die Einträge aus dem Körper Z/5Z stammen, wenn ich aber jetzt die Lösungsmenge angeben will kommen Brüche vor, heißt das die Lösungsmenge ist in Z/5Z leer oder mache ich etwas falsch ?
Was bedeutet Z/5Z?
das was in der angabe steht z modulo 5 z
2 Antworten
Du solltest bedenken, dass es in ℤ/5ℤ zu jedem Element außer der 0 ein multiplikatives Inverses gibt. (Das gilt in jedem Körper. Und ℤ/5ℤ ist ein Körper.)
Eine Division durch eine Zahl x entspricht einer Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen x⁻¹ von x. D.h. man kann y/x als y ⋅ x⁻¹ schreiben.
Nun wäre es gut, zu wissen, was die jeweiligen inversen Elemente sind. Dazu könnte man sich einfach eine Multiplikationstabelle erstellen...
... oder anderweitig überlegen, dass gilt:
Wenn du also in ℤ/5ℤ beispielsweise gerne die Division 2/3 rechnen möchtest, könntest bzw. solltest du
rechnen.
Bzw. könnte man auch (beispielsweise relativ leicht mit der Multiplikationstabelle) erkennen, dass 2/3 = 4 ist, da umgekehrt 4 ⋅ 3 = 2 ist.
Denn genau darum geht es ja bei der Division auch: Der Quotient a/b bezeichnet diejenige Zahl, die multipliziert mit b die Zahl a ergibt.
c ⋅ b = a ⇔ c = b/a
Beim konkreten Beispiel mit 2/3 in ℤ/5ℤ:
4 ⋅ 3 = 2 ⇔ 4 = 2/3
Du musst beachten dass in Restklassenkörper 1/k nicht das selbe ist wie 1/k in den Rationalen Zahlen.
1/k steht für das Multiplikative inverse Element von k, dessen genauen Wert musst du dann mit dem euklidischen Algorithmus bestimmen.
Beispiel:
1/2 ist kongruent zu 3, da 3*2=6=1 unter Modulo 5 ist.
Am Ende solltest du dann statt den Brüchen eine restklasse von 0 bis 4 rausbekommen