Frage von Teslaenergie, 77

Lineares Gleichungssystem lösen, wenn nur die Lösungsmenge gegeben ist?

Hallo, Wie löse ich allgemein eine Aufgabe zu einem linearen Gleichungssystem, in der nur die Lösungen gegeben sind? Wie soll ich mir denn ein LGS ausdenken bei dem genau die Lösungen rauskommen? Knobeln? Oder gibt es eine andere Möglichkeit?

Und nein das ist keine Hausaufgaben frage, ich frage ganz allgemein, aus Interesse weil ich so eine Aufgabe gesehen habe..

Grüße Teslaenergie

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 25

Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist allgemein die "Summe" aus einer partikulären Lösung (das ist überhaupt eine Lösung) und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen LGS (das ist das Gleichungssystem, bei dem der "Zielvektor" der Nullvekor ist).

Damit kannst du die Aufgabe reduzieren auf die Suche nach einem homogenen LGS, das als Lösungen die Differenzen der gegebenen Lösungen zu einer beliebig ausgewählten Lösung hat.

Also, wenn x_0 eine Lösung des LGS mit der Lösungsmenge {x_0, x_1, x_2, ...} ist, dann suchst du nach dem hLGS, das die Lösungsmenge {0, x_1 - x_0, x_2 - x_0, ...} hat.

Die Lösungen bilden einen Untervektorraum der Definitionsmenge des hLGS (die natürlich ihrerseits ein Vektorraum ist).

Vom "Komplementärraum" des Lösungsraums liegt natürlich nur der Nullvektor im Lösungsraum, das ist gleichbedeutend damit, dass die Gleichungen des hLGS für den Komplementärraum nur den Nullvektor zulassen.

Dies gilt auch umgekehrt: Der größte Raum, aus dem die Gleichungen des hLGS nur den Nullvektor zulassen, ist der Komplementärraum des Lösungsraums.

Damit ergibt sich folgendes Lösungsverfahren:

- Ermittele die Lösungsmenge des zugehörigen hLGS (von jeder Lösung dieselbe partikuläre Lösung abziehen)

- Ermittle den Definitionsbereich des hLGS

- Ermittle den Komplementärraum des Lösungsraums des hLGS in Bezug auf den Definitionsraum

- Wähle ein Gleichungssystem aus, das aus dem Komplementärraum nur den Nullvektor zulässt (einfachstes Beispiel: jede Koordinate eines Vektors aus dem Komplementärraum muss 0 sein, damit haben wir für jede Dimension des Komplementärraumes eine Gleichung)

- Dieses Gleichungssystem erfüllt die Forderung an das zugehörige hLGS

- Mache aus diesem homogenen Gleichungssystem das zugehörige inhomogene Gleichungssystem

- Dieses Gleichungssystem ist eine Lösung der Aufgabe

Antwort
von suin95, 19

Ich bin mir nicht ganz sicher , ob ich deine Frage richtig verstanden hab aber ich versuchs mal.

Nehmen wir ein LGS mit 2 unbekannten, das hat die allgemeine Form:

a*x+b*y=c
d*x+e*y=e

Das gibt uns für den Fall das x und y bekannt sind ein Gleichungssystem mit 6 unbekannten aber nur 2 Gleichungen wir brauchen also noch 4 weitere Gleichungen um das GS lösen zu können. Die sind entweder in der Aufgabe gegeben oder es muss mehrere Lösungen in der Lösungsmenge geben.

Edit: Ansonsten ist das Gleichungssystem nicht eindeutig bestimmt und es gibt unendlich Lösungen.



Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathematik, 27

Bsp

x=2 und y=5

dann

irgendwas ausdenken und rechte Seite berechnen;

4x+2y=?               18

5x-y=?                    5

Antwort
von LarsWiegels, 20

Ganz einfach. Du setzt die lösung ein.

Wenn die Aufgabe lautet Lösung ist x=3 und y=4

Das noch unvollständige LGS lautet:

ax + by  = c

dx + ey = f

Dann setzt du ein:

3a + 4b = c

3d + 4e= f

Dann wählst du für a, b, d und e belebige Zahlen und berechnest noch c und f.

Wichtig ist nur das dann die erste und zweite Gleichung nicht linear abhängig ist.

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