Letze Ziffern einer Potenz ermitteln?

Ich muss die letzten beiden Ziffern von der Potenz 7^100 berechnen, habe aber keine Ahnung wie ich das anstellen soll...

Answer 1

[Halbrecht]

schreib die Reihe der Endziffern auf von 7*7*7*....und guck ob es einen Zyklus gibt

7*7 = Endziffer 9 ......dann mal 7 : EZ : 3 ..............1 .................7 ............aha wieder 9 , 3 , 1..............

und nun noch gucken welche bei 100 hinkommt .........

bei 7 hoch 2 : 9
bei 7 hoch 3 : 3
bei 7 hoch 4 : 1
bei 7 hoch 5 : 7

Answer 2

[Kurax15]

Folgender "Trick" hilft:

7^1 = 7 -> 7

Für 7^2 -> ? nehm die letzte "letzte Stelle" und die *7, also 7*7=49 -> 9

Dann für 7^3 folgt 9*7=63 -> 3

7^4 folgt 3*7= 21 -> 1

7^5 folgt 1*7 = 7

Jetzt bis du wieder am Anfang deines Loops angekommen.

Also gilt quasi

1 -> 7

2 -> 9

3 -> 3

4 -> 1

5 -> 7

6 -> 9

usw.

Da 100/4 genau teilbar ist hast du exakt 25 solcher Abläufe. Die Zahl ist dann also 1.

Grüße

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Hab mal 3 Semester Mathe studiert

Answer 3

[Willibergi]

Rechne modulo 100:

$7^{100}\ \text{mod}\ 100$

Das sind die letzten beiden Ziffern. Und den Wert dieses Ausdrucks kannst du einfach mit modularer Exponentiation (Square and Multiply) ermitteln. Ergebnis: 01.

$7^{100}=7^{64}\cdot7^{32}\cdot7^4=\left(\left(\left(\left(\left(7^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot\left(\left(\left(\left(7^2\right)^2\right)^2\right)^2\right)^2\cdot\left(7^2\right)^2$

Answer 4

[ShimaG]

Schau' dir mal dir letzten beiden Ziffern von 7, 7^2, 7^3... an - stellst du da irgendwelche Regelmäßigkeit fest?

Tip: Du musst nie die wirkliche Zahl ausrechnen, wenn dich nur die letzten beiden Ziffern interessieren; du kannst einfach die letzten beiden Ziffern der vorherigen Potenz nehmen und die mit 7 multiplizieren, und dann von der Zahl wieder nur die letzten beiden Ziffern nehmen.

Beispiel:

7^3 - Letzten beiden Ziffern sind 43.
7^4 - Berechne 43 * 7 = 301, die letzten beiden Ziffern sind 01

Schreibe mal deine Vermutung in eine Antwort, dann kann ich gerne weiterhelfen oder schauen, ob du das richtig gemacht hast!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium und Promotion in Angewandter Mathematik

Answer 5

[Kris, UserMod Light]

7*7=49 (^2)

*7=..3 (^3)

*7=..1 (^4)

*7=...7 (^5)

*7=...9 (^6)