Kurvenanpassung, Krümmung?
Gegeben sind zwei Straßenabschnitte (Geraden) mit den Steigungen +4% bzw. -4%. Ihr Schnittpunkt liegt im Koordinatenursprung (siehe Bild), sind Tangenten an die Parabel. Der Knick dort soll durch eine Parabel ausgerundet werden mit dem minimalen Krümmungsradius r=100 m im Scheitelpunkt.
a) Stellen Sie formal die Parabelgleichung y = f(x) auf! (Darin ist nur noch ein Parameter zu bestimmen!)
b) Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden?
c) Bestimmen Sie daraus die Koordinaten der Berührpunkte und den freien Parameter der Parabelgleichung!
Verstehe leider überhaupt nicht wie ich das lösen soll...Danke im voraus!
2 Antworten
Normalerweise hat eine Parabel die allgemeine Form -->
y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c
Die in deinem Bild dargestellte Parabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse, dass bedeutet b = 0, weil nur Parabeln die ausschließlich gerade Potenzen haben achsensymmetrisch sind.
Deshalb vereinfacht es sich zu -->
y = f(x) = a * x ^ 2 + c
Die beiden Geraden gehen durch den Ursprung (0 | 0) und lauten -->
y _ 1 = - 0.04 * x
y _ 2 = 0.04 * x
Die Parabel soll beide Geraden berühren und einen minimalen Krümmungsradius von r = 100 m haben.
http://walter.bislins.ch/blog/index.asp?page=Kr%FCmmungskreise+und+Parabeln
Das bedeutet, es soll gelten -->
a = 1 / (2 * r)
In deinem Fall also -->
a = 1 / 200
Dann gilt für deine Parabel jetzt -->
y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + c
Jetzt musst du nur noch c bestimmen.
Da du die Steigung der Geraden bereits kennst, muss in den Berührpunkten also die Parabel ebenfalls die Steigung -0.04 bzw. +0.04 haben.
Die Steigung wird durch die 1-te Ableitung beschrieben -->
y´ = f´(x) = (1 / 100) * x
0.04 = (1 / 100) * x
x = 4
An der Stelle x = 4 ist eine Berührstelle, wegen der Achsensymmetrie also auch an der Stelle x = -4
Nun das x nur noch in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen -->
y _ 2 = 0.04 * x
y _ 2 = 0.04 * 4 = 0.16
Die Koordinaten der Berührpunkte lauten also -->
(-4 | 0.16)
(+4 | 0.16)
Nun muss die Parabel ja auch durch diese Punkte gehen -->
y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + c
0.16 = (1 / 200) * 4 ^ 2 + c
c = 0.16 - (1 / 200) * 4 ^ 2 = 0.08
c = 0.08
Deine Parabel lautet jetzt also -->
y = f(x) = (1 / 200) * x ^ 2 + 0.08
Ich hoffe, dass ich mich nicht verrechnet habe ;-))
Es kann sein, dass die Formel die man zur Berechnung des Krümmungskreisradius verwendet doch eine andere ist -->
Wenn das so ist, dann ist der Parameter a in meiner Rechnung von oben falsch, der restliche Rechenweg in meiner Rechnung stimmt aber, nur der Krümmungskreisradius wäre doch ein anderer.
Komischerweise wurde der Kommentar zweimal abgeschickt ;-))
Noch eine Webseite die ich gefunden habe -->
http://www.onlinemathe.de/forum/Kruemmungsradius-einer-Parabel-am-Punkt
Die Parabel hat die Form
y=kx² + c
Davon ist k und c zunächst unbestimmt.
k ergibt sich aus dem Krümmungsradius.
Das c aus der Tangentenbedingung.
Hilft dir das ?
Es kann sein, dass die Formel die man zur Berechnung des Krümmungskreisradius verwendet doch eine andere ist -->
https://goo.gl/qspZiu
Wenn das so ist, dann ist der Parameter a in meiner Rechnung von oben falsch, der restliche Rechenweg in meiner Rechnung stimmt aber, nur der Krümmungskreisradius wäre doch ein anderer.