Flächeninhalt des Dreiecks begrenzt durch tangenten berechnen?
Bestimmen sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x0/ f(x0)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.
Gegeben: f(x)=0,5x²+2 ; n(x)=-0,5x+5 ; x0=2
Bitte ausführlich erklären warum ihr welchen schritt macht und danke im voraus :)
3 Antworten
Hallo Moneyboy2
Gegeben ist 1. die Parabel f(x) = 0,5x² + 2. Deren Ableitung ist f'(x) = x.
Gegeben ist 2. der Punkt P(xoIf(xo)) mit xo=2 auf der Parabel, der der Berührpunkt für die noch zu ermittelnde Tangente g(x) an die Parabel ist. Mit xo=2 erhält man f(xo) = 0,5*(2)² + 2 = 2+2 = 4. Damit erhält man also P(2I4). Die Tangente durch P hat die Steigung m = f'(2) = 2. Ihre allgemeine Gleichung lautet g(x) = mx + t. Setzt man m=2 und die Koordinaten von P ein (sie geht ja durch P), so erhält man: 4 = 2*2 + t. Also ist t=0 und g(x) = 2x. Diese Tangente g(x) geht also durch den Koordinatenursprung O(0I0) und durch P und stellt eine Seite des zu berechnenden Dreiecks dar. O(0I0) ist somit ein Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks.
Gegeben ist 3. die Gerade n(x) = - 0,5x + 5. Diese Gerade schneidet die x-Achse bei y=0: 0= -0,5x+5. Daraus folgt x=10. Dieser Punkt S(10I0) ist der zweite Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks.
Der dritte Eckpunkt des zu berechnenden Dreiecks ist der Schnittpunkt der Geraden n(x) mit der Tangente g(x): n(x)=g(x); ---> -0,5x+5 = 2x; ---> 5=2,5x; ---> x=2; ---> y=2*2 =4. Der 3. Eckpunkt ist also identisch mit P(2I4).
Das gesuchte Dreieck hat demnach die Grundlinie g = OS (=10) und die Seiten OP und SP. Seine Höhe ist gleich dem y-Wert von P, also h = 4. Damit ist seine Fläche gleich A = (1/2)gh = 0,5*10*4 = 20.
Es grüßt HEWKLDOe.
Nachtrag: Ich habe gerade gesehen, dass OP und SP im Punkt P auf einander senkrecht stehen, dort also einen rechten Winkel bilden. Das Dreieck OPS ist also ein rechtwinkliges Dreieck. Man erkennt auch, dass für die Steigungen m=2 der Tangente und m'=-0,5 der Geraden n die Beziehung m=-1/m' gilt, woraus man ebenfalls sehen kann, dass die beiden Geraden senkrecht auf einander stehen. Wenn du dir alles in einer Skizze aufzeichnest, dann kannst du das gut sehen.
Danke diese Erklärung hat mir sehr viel weiter geholfen !
- erstmal ne Zeichnung: https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+%7Bf(x)%3D0.5x%C2%B2%2B2+;+n(x)%3D0.5x%2B5+;+f(2);+t(x)%3D2x%7D+where+-11%3Cx%3C4
- also der erste Eck-Punkt des Dreiecks ist ersichtlich P1(-10/0)
- der zweite dann der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse
- der dritte der Schnittpunkt der Tangente mit n(x)
- dazu brauchen wir nun erstmal diese Tangente: ein Punkt auf der Tangente ist Pt1(x0/f(x0))=Pt1(2/4); die Steigung ist f'(x0)=f'(2)=2 (mit f'(x)=2·0,5·x=x)... ein zweiter Punkt auf der Tangenten ist dann also: Pt2(2+1/4+2·1)=Pt2(3/6)... also ist die Tangenten-Gleichung t(x)=a·x+b gegeben durch t(2)=4 und t(3)=6... zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten (a und b)... 4=2a+b und 6=3a+b ==> 4-2a=6-3a ==> a=2 ==> 6-3·2=b=0
- danach hat man dann also die Fläche des Dreiecks ausrechnen... da gibt s bestimmt ne passende Formel in der Formelsammlung...
Mit x0 wird normaler Weise die Nullstelle angegeben, aber f(x) hat keine Nullstelle! Es muss geklärt werden, was oder wie groß x0 ist!
Ok habs überlesen x0=2! Von f(x) die 1. Ableitung im Punkt 2 bilden(Steilheit) und die Tangentengleichung aufstellen. Dann die jeweilige Nullstelle von Tangente und n(x) bestimmen und den Schnittpunkt von Tangente = n(x), dann hast du alle 3 Eckpunkte deines Dreiecks!
Ich habe mich vertan, ich habe bei n(x)=0,5x+5 das "-" vergessen also n(x)=-0,5x+5. Aber es ist ja im prinzip gleich oder?