Mathe - Tangente, Dreieck Flächeninhalt?

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(x₀|f(x₀)) mit der Geraden n und der x-Achse einschließt.

b) f(x)= 0,5x² + 2, x₀=2

n(x)= −0,5x + 5

Wenn ich diese Aufgabe kann, kann ich auch den Rest von selbst, weshalb ich mich über die Lösung, Rechenweg und eine Erklärung freuen würde

Answer 1

[Mathetrainer]

Brauchst erst mal die Tangentengleichung selbst.

$t\left(x\right)=f'\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right)$ $f'\left(x\right)=x;\ \ f'\left(2\right)=2$ $f\left(2\right)=0,5\cdot4+2=4$ $t\left(x\right)=2\cdot\left(x-2\right)+4=2x$ Die Tangente ist also eine Ursprungsgerade.

n(x) hat die Steigung m=)-0,5, somit stehen t und n senkrecht aufeinander.

Jetzt benöltigst du den Schnittpunkt von n mit der x-Achse.

$n\left(x\right)=0=-0,5x+5\ \ ==>\ \ x=10$ Die Basis des gesuchten Dreiecks ist also 10 LE lang.

Jetzt benötigen wir noch die Höhe des Dreiecks, das ist der y-Wert des Schnittpunktes von t(x) mit n(x).

t(x) geschnitten n(x)

$2x=-0,5x+2\ \ \ ==>\ \ x=0,8$ $t\left(0,8\right)=2\cdot0,8=1,6$ Die Höhe des Dreiecks beträgt 1,6 LE.

Fläche des Dreiecks:

$A_{FDreieck}=\frac{1}{2}\cdot10\cdot1,6=8\ FE$