Kontraktion einer Funktion zeigen?
Hallo,
ich möchte die Kontraktion folgender Funktion zeigen, um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können. Meine bisherigen Abschätzungen haben jedoch leider kein q geliefert, das die Bedingung 0 < q < 1 erfüllt.
(Die fett markierte Bedingung möchte ich zeigen. Darunter habe ich nur x bzw. y eingesetzt und ein wenig umgeformt.)
2 Antworten
1/x-1/y = (y-x)/(xy) = -(x-y)/(xy)
Damit gilt dann
|f(x)-f(y)|=| 1/2 (x-y) - (x-y) / (xy) |
Hilft das vielleicht schon?
|f(x)-f(y)|=| 1/2 (x-y) - (x-y) / (xy) |
= |x-y| * | 1/2 - 1/(xy) | ≤ ...
Jetzt? Du musst eigentlich nur noch den zweiten Betrag mit einer Konstante 0<q<1 abschätzen. Betrachte hierzu den "worst case": Für welches Paar (x,y) aus [1,2] ist |1/2 - 1/(xy)| maximal? Ist dieser Maximalwert kleiner als 1? Wenn ja, dann wählst du q einfach als kleiner/gleich diesen Wert
Auf den ersten Blick würde ich sagen das klappt nicht. Denn es ist
f'(2) = 1/2 + ln(2) = 0,5 + 0,69314... > 1.
Wende jetzt in einem geeigneten Bereich um den Randpunkt 2 den Mittelwertsatz an und du stellst fest dass es kein solches q mit q < 1 geben kann.
Hier hast du dich mit der Ableitung leider vertan. Es ist f'(x)=1/2 - 1/x² und damit ist f'(2)=1/4<1.
Allgemein ist |f'(x)| auf [1,2] durch 1/2 nach oben beschränkt.
Die Antwort liefert aber eine gute Alternativmethode zu meinem Ansatz; nach dem MWS gibt es für alle Paare (x,y) mit x und y aus [1,2] eine Konstante c mit
(f(x)-f(y)) / (x-y)=f'(c) Hieraus folgt nun direkt |f(x)-f(y)|=|f'(c)|*|x-y|<1/2 * |x-y|, wonach f also eine Kontraktion ist.
Leider nicht. Ich verstehe nicht, wie ich jetzt weiter vorgehen muss.