Komplexe Nullstellen mit der Vielfachheit x bei der Substitution?
Bei Aufgaben wie der folgenden, kann ich die Transformation zwar durchführen, aber mich würde auch die Logik, hinter den Schritten, die im orangenen Kasten stehen, interessieren. Warum macht man das so?
3 Antworten
ich vermute einfach mal dass man das z^3 irgendwie findet über die darstellung von z in polarkoordinaten.
was da steht, sind ja nur ergebnisse, die mittels euleridentität in die a+b*i form umgeformt wurden
wie man die ergebnisse bestimmt, müsste man über polarkoordinaten nachschauen
Das ist die Rücktransformation. Du hast errechnet, bei welchen u die Nullstellen sind. Aber p(z) ist eine Funktion von z und nicht von u. D.H. Du mußt nachprüfen, was die Nullstellen u= 1 und u=-8 jetzt für z bedeuten.
Die Transformation war u=z³; bei der Nullstelle u=1 bedeutet dies für z: z³=1.
Die Frage ist jetzt: Für welche zaus der Definitionsmenge ist z³=1, für z€IR ist dies klar z=1, aber in den komplexen Zahlen C gibt es noch andere Lösungen. Die werden aös z2 und z3 hier ermittelt.
Dann müßtest Du noch überlegen, was u2=-8 für die Lösungen für z bedeutet; Du suchst also alle z aus C, für die z³=-8 ist.
Hat sich geklärt keine weitere Erklärung nötig, danke :)
das sind alle nullstellen, die das systerm hat, z^3=1=e^(2pi i)
ziehst du die dritte wurzel, hast du z=e^(2/3pii), potenzgesetze, ABER!, bedenke, dass
1=e^0=e^2pii=e^2npii mit n element Z, der zyklus wiederholt sich alle 2 pii, jetzt musst du alle zyklen herausfinden, die durch die 3. wurzel im intervall 0 bis 2 pii landen, der rest ist nicht relevant, da identisch, (e^(4pii))^(1/3)=e^(4/3pii)
(e^(6pii))^(1/3)=e^(6/3pii)=1
das hier sind die 3 lösungen, die das system dadurch hat, ihr betrag ist 1, aber es sind 3 unterschiedliche komplexe zahlen, für den rst gilt das nicht
(e^(8pii))^(1/3)=e^(8/3pii)=e^(2/3pii), also die identische lösung
Ja, mir erschließt sich nur noch nicht so ganz, warum man dann nicht für z^3=-8 die - 2 als Lösung wählen kann. Die ist ja auch (-2)^3=-8 und dann für die restlichen Lösungen komplexe Zahlen verwendet. Wenn ich meine Frage in die andere Richtung ausformulieren will, könnte ich auch fragen, warum ich für die z^3=1 eine reelle Lösung habe und nicht wie bei z^3=-8 nur komplexe Lösungen. Eine Rückmeldung wäre mega lieb.