Kombinatorik Möglichkeiten zählen?
Aufgabe: Es wird eine Personengruppe von 12 Menschen betrachtet. Davon sind 7 Männer und 5 Frauen. Wie viele Teilgruppen aus genau 5 Personen lassen sich bilden mit mindestens 3 Männern.
Ich habe dazu leider keine Lösung, aber komme auf ca. 13000 Teilgruppen.
4 Antworten
Im Gegensatz zum Lösungsvorschlag von Willy1729 kannst du auch so vorgehen:
1.) 5M + 0F : (7//5) * (5//0) = ..............
2.) 4M + 1F : (7//4) * (5//1) = 35 * 5 = 175
3.) 3M + 2F : (7//3) * (5//2) = ..............
Dann die Anzahl aller Möglichkeiten durch Addition ermitteln.
(Ich habe oben jeweils (n//k) für den Binomialkoeffizienten geschrieben)
Willy hat das oben auch gerade noch nachgetragen !
Hallo,
ach was.
Zunächst berechnest Du, wieviele unterschiedliche Fünfergruppen aus 12 Personen gebildet werden können.
Das sind 12 über 5, also 12!/(5!*7!)=792
Da aber mindestens drei Männer dabei sein sollen, mußt Du davon noch alle Gruppen mit 0, 1 oder 2 Männern abziehen.
Bei 0 Männern gibt es nur eine reine Frauengruppe.
Bei 1 Mann gibt es 7*(5 über 4)=35 Möglichkeiten, weil jeder Mann mit einer von fünf Vierergruppen aus den 5 Frauen kombiniert werden kann.
Bei 2 Männern gibt es dann (7 über 2)*(5 über 3)=210 Möglichkeiten.
Du ziehst von den 792 also 1+35+210=246 Möglichkeiten ab und kommst so auf 546 Fünfergruppen, in denen mindestens drei Männer sind.
Herzliche Grüße,
Willy
Dein Fehler waren die Permutationen.
Bei dieser Aufgabe spielt die Reihenfolge keine Rolle, sondern nur, welche von den 7 Männern und welche von den 5 Frauen jeweils in die Fünfergruppe kommen.
In welcher Reihenfolge sie jeweils innerhalb der Gruppe verteilt sind, ist egal. Die Gruppe aus Anton, Bert, Christian, Dora und Emilie ist die gleiche wie die Gruppe aus Dora, Emilie, Christian, Bert und Anton.
Du kannst es auch andersherum rechnen, also die Summe der Kombinationen aus 3, 4 und 5 Männern bilden:
(7 über 3)*(5 über 2)+(7 über 4)*(5 über 1)+(7 über 5)*(5 über 0)
Auch so kommst Du auf 546.
Willy
Ah Danke. Gesucht ist nur die Anzahl der Teilgruppen. Ich habe die Anzahl der Permutationen berechnet.
Es gibt 3 verschiedene etlaubte Verteilungen:
a) 3 Männer + 2 Frauen
b) 4 Männer + 1 Frau
c) 5 Männer
Möglichkeiten für a)
(7*6*5)/(3*2)*(5*4)/2 = 350
Möglichkeiten für b)
(7*6*5*4)/(4*3*2)*5 = 175
Möglichkeiten für c)
(7*6*5*4*3)/(5*4*3*2) = 21
Summe: 546
(7 über 3)•(5 über 2) + (7 über 4)•(5 über 1) + (7 über 5)•(5 über 0)
350 + 175 + 21
= 546
und "über" mit der "nCr" Taste.
Das klingt logisch...
Ich habe zu erst versucht die Männer zu verteilen das sind 7 über 3 und das habe ich dann mit 2^(12-3) multipliziert für die restlichen Permutationen. Ich verstehe aber nicht wieso mein Ergebnis falsch ist. Was habe ich dann da genau genommen gezählt, damit ich ein Verständnis dafür bekomme?