Lösung zu Kombinatorik Problem?

Gegeben ist eine Gruppe von 8 Personen: A, B, C, D, E, F, G und H. Diese Personen sollen auf 4 verschiedene Teams verteilt werden: Team 1, Team 2, Team 3 und Team 4.

Dabei gelten folgende Bedingungen:

1. In jedem Team sollen genau 2 Personen sein.
2. Person A und Person B können nicht im selben Team sein.
3. Person C und Person D müssen im selben Team sein.
4. Person E und Person F dürfen nicht im selben Team sein.
5. Person G und Person H sollen in unterschiedlichen Teams sein.

Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 8 Personen auf die 4 Teams gemäß den oben genannten Bedingungen zu verteilen?

Answer 1

[ralphdieter]

C+D lasse ich mal außen vor. Die übrigen bilden 3 „Feindpaare“: A-B, E-F und G-H.

• A hat 4 Partner zur Auswahl: E, F, G, H.
• Als nächstes wählt der erste aus dem Feindpaar, das noch vollständig ist: E, falls A+G oder A+H, und G sonst. Er (E oder G) hat noch genau 2 Kandidaten zur Auswahl: B und (G oder H) bzw. (E oder F).
• Übrig sind nun der Feind von (E oder G) und ein weiterer. Sie sind kein Feindpaar und bilden immer eine Gruppe.

Das macht zusammen 4·2 mögliche Verteilungen.

Comments

[ralphdieter]

Die möglichen Teams sind C+D und:

1. A+E, G+B, F+H
2. A+E, G+F, B+H
3. A+F, G+B, E+H
4. A+F, G+E, B+H
5. A+G, E+B, F+H
6. A+G, E+H, B+F
7. A+H, E+B, F+G
8. A+H, E+G, B+F

Falls die vier Teams unterscheidbar sind, muss man das noch mit 4! multiplizieren.

Answer 2

[Willy1729]

Hallo,

Da meine Antwort Müll war, nun der zweite Versuch.

C und D bilden ein festes Team, können also erst mal außen vor bleiben.

Es geht um die Personen A B E F G H, aus denen die drei restlichen Teams gebildet werden. Wenn ich daraus drei Paare bilde, kann ich das auf 6 über 2 mal vier über 2 mal 2 über 2 Arten tun, was 90 Möglichkeiten ergibt. Die können dann noch auf 6 Arten die Plätze tauschen, macht 540.

Davon müssen aber die Paarungen abgezogen werden, bei denen die verbotenen Paare AB; EF und GH vorkommen.

Sind es alle 3, zieht man die sechs unterschiedlichen Permutationen ab.

Sind es zwei oder eine, gibt es jeweils drei Möglichkeiten, diese aus den drei verbotenen auszuwählen. Auch die Dreiergruppen, in denen eine oder zwei verbotene Teams auftauchen, können auf sechs Arten die Plätze tauschen.

Das ergibt (3+3)*6=36 Abzüge, zusammen mit den sechs von vorhin, sind es 42.

540-42=498.

Nun kommt noch die Gruppe CD ins Spiel. Sie kann in jeder Gruppierung mit den drei anderen Teams als Team 1, 2, 3 oder 4 auftauchen, so daß alles noch mit 4 multipliziert werden muß.

498*4=1992.

Herzliche Grüße,

Willy