Kombinatorik freie Plätze?
Hallo,
gerade machen wir ein Thema in Mathe bei dem ich nicht ganz durchblickte...Kombinatorik. Ich weiss auch garnicht wann etwas geordnet (Reihenfolge ist wichtig) und wann etwas ungeordnet ( Reihenfolge ist unwichtig) ist. Wir haben als Hausaufgabe paar Aufgaben bekommen und bei einer komm ich garnicht weiter...
Die die Oberstufe eines Gymnasiums ist mit zwei Bussen auf einer Studienfahrt unterwegs. Vor der Heimfahrt stehen noch 16 Schüler vor den beiden Bussen. Auf wie viele Arten können diese 16 Schüler auf die beiden Busse verteilt werden, wenn
a) in einem Bus noch zehn, im anderen noch 6 Plätze
b) in einem Bus noch zehn, im anderen Bus noch 8 Plätze nicht besetzt sind
Ich würde hier diese Formel hernehmen: n!/(n-k)
n ist vielleicht 16 aber k weiss ich nicht. Vielleicht muss man auch die Aufgabe aufteilen und manche Sachen einzeln rechnen und dann die Ergebnisse multiplizieren?
5 Antworten
Urne mit Kugeln, "ziehen ohne zurücklegen" = "geordnete Stichprobe"
Ich würde die beiden Busse als eine Urne betrachten,dann ergibt sich
Formel der möglichen Anordnungen N=n*(n-1)*(n-k+1)
Die Urne sind die 10+6 Sitzplätze n=16
k=16 sind die Schüler (es wird 16 mal gezogen)
Nun wird immer 1 Sitzplatz "gezogen" und einen Schüler zugeordnet.
a) Dies geschieht so lange,bis keine Sitzplätze (kugeln in der Urne) mehr da sind.
also k=n=16
dann gilt N=n!=16!=2,092..*10^13 mögliche Anordnungen
b) hier ist n=10+8=18 Sitzplätze und k=16 Schüler (16 mal wird gezogen)
also N=18*(18-1)*(18-16+1)=918 mögliche Anordnungen
a) 10 von(aus) 16 nehmen in Bus 1 Platz. Da nur die Rede davon ist, wer in welchen Bus steigt, und nicht auf welchen Sitzplatz, spielt die Reihenfolge keine Rolle: 10 aus 16 bedeutet: (n über k)=n!/(k!(n-k)!), ergibt hier 8008; die restlichen 6 nehmen alle im zweiten Bus Platz; sind die ersten 10 für Bus 1 ausgewählt, bleibt nur noch eine Möglichkeit für Bus 2 übrig.
(Das gleiche kommt übrigens natürlich raus, wenn Du die Möglichkeit für Bus 2 ausrechnest (6 aus 16))
Eigentlich ist das nicht überraschend, wenn Du Dir die Spiegelsymmetrie des Binomialkoeffizienten klarmachst oder an das Pascalsche Dreieck denkst.
Auch bei der Formel n!/[k!*(n-k)!] wird klar, daß Du k und n-k austauschen kannst.
Bei n=16 und k=10 ergibt n-k eben 6.
Es ist egal, ob Du 16!/(10!*6!) rechnest oder 16!/(6!*10!)
Herzliche Grüße,
Willy
So sschlau bin ich auch. Es hat mich trotzdem
überrascht. Asrechnen kann ich das auch.
Einfach aus dem Gedanken "Für den ersten Bus
gibt es offensichtlich 16 über 10 Möglichkeiten -
dann muss es für den zweiten dieselbe Zahl geben.
Aber dan muss dasselbe rauskommen, wenn ich
bei dem anfange."
AAufgabe a: es gibt bei der Frage nur 1 Antwort!
Es steht die Antwort doch schon. 16 Schüler warten vor den Bussen. In den ersten Buss steigen 10 und in den anderen Buss steigen die letzten 6 Schüler ein.
Aufgabe b: hier gibt es mehrere lösungen!
in den ersten steigen 10 und in den anderen 6 ein
In den ersten steigen 8 und in den anderen auch 8 ein
In den ersten steigen 9 und in den anderen 7 ein!
ist doch eigl nur logisches denken ;-)
Lg icke
Das erste ist eine Ziehung "10 aus 16", also
16!/((16-10)! *10!)
Reihenfolge wichtig, ohne Wiederholung; Formel
n! / (n-k)!
Ja, es hatte mich überrascht, dass "10 aus 16" die gleiche
Zahl ergibt wie "6 aus 16".