kann mir jemand ganzrationale Funktionen erklären?
zb so eine aufgabe
2 Antworten
Ganzrationale Funktionen (auch Polynomfunktionen) sind Funktionen, deren Funktionsgleichung sich in der Form
(mit aₙ ≠ 0) darstellen lässt.
- Die Zahlen aₙ, ..., a₂, a₁, a₀ nennt man Koeffizienten.
- Den Summanden aₙxⁿ mit der größten Potenz der Variablen x nennt man Leitmonom. Den entsprechenden Koeffizienten aₙ nennt man Leitkoeffizient.
- Den Koeffizienten a₀, den man auch als f(0) erhält, nennt man Absolutglied.
- Die Zahl n, also größten Exponenten bei den Potenzen von x, nennt man Grad.
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Beispiel:
Auch wenn auf den ersten Blick der Summand mit x³ zu fehlen scheint, so handelt es sich um die Gleichung einer ganzrationalen Funktion. Denn man kann „+ 0x³“ ergänzen, wenn man möchte. Man kann die Gleichung also auch als
bzw.
schreiben.
Hier wäre der Grad gleich 4, der Leitkoeffizient gleich 5 und das Absolutglied gleich 9.
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Nun zum konkreten Beispiel aus deiner Frage:
Das kann man, wenn man möchte auch als
schreiben, woran man evtl. besser erkennt, dass der Grad gleich 0 und der Leitkoeffizient gleich 8 ist.
Das Absolutglied ist 8. Das kann man beispielsweise auch daran erkennen, dass f(0), also der Funktionswert an der Stelle x = 0, gleich 8 ist (wie jeder andere Funktionswert bei dieser konstanten Funktion ebenfalls 8 ist).
Sollte man nicht noch für diesen speziellen Fall betonen , dass im Abs-Glied der Leit und der Grad steckt ?
so wie du es schreibst ( natürlich ganz korrekt ) würde ich noch eine zweite 8 erwarten.
.
PS : wenn diese Frage Anfängern gestellt wird, werden sie aber hoffnungslos überfordert , finde ich .
Grad : Null
weil da 8*x hoch 0 steht.
Leit : 8
Absolut : 8
weil da
8*x^0 steht
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anderes Beispiel
k(x) = 4x³ - 7x + 8
G: 3
L : 4
A : 8
nh ? heißt was ?
es ist wie geschrieben ein anderes Beispiel , weil deine Frage für Anfänger vielleicht verwirrend ist.
nh heißt eine
und ich verstehe nicht wieso zb eine 4 bei L warum eine 8 bei A und warum eine 3 bei G ist
aber du kannst doch sehen , wo die 4 steht , die 8 und die 3 ?
5x² - 8x + 11
L : 5
A : 11
G : 3
jetzt besser ?
und nh hat heißt "eine" ? Wieso hat diese Abkürzung mit eine nix zu tun ?
Absolut : 0
weil da
8*x^0 + 0 steht
Aber + 0 steht doch hinter jeder ganzrationalen
Funktion. Dann wäre das A. immer 0. Für mich ist
das A. 8.
Meiner Meinung nach ist das absolute Glied immer der Koeffizient von x^0.
Dass 8*x^0 + 0 = 0*x^0 = 8 ist, das ist klar. Dabei kommt x^0 aber im Prinzip doppelt vor. Was wäre denn mit 3*x^0 + 5? Nein, das kann nicht sein, dass der Leitkoeffizient jetzt 3 und das Absolutglied 5 ist.
Ja, dass sehe ich auch so, Grad = 0, abslolutes Glied = Leitkoeffizient = 8.
Ein spezieller Fall eben.
Aber auf die Idee, dass f(x) = 8 eine ganzrationale Funktion ist, wäre ich allerdings nicht von allein gekommen ;-)
Das behauptet ja im Prinzip erst mal die Frage. Habe ich mal so übernommen und mihisu hat sich auch nicht dagegen ausgesprochen.
Hab das aber mal bei wiki gelesen :
guck hier bei Definition da steht dann (wegen a_n nicht Null ) auch , dass der Leitkoeff 8 sein muss
Fast richtig. Bei f(x) = 8 ist das Absolutglied 8, nicht 0. Das kann man beispielsweise auch daran erkennen, dass das Absolutglied immer gleich dem Funktionswert f(0) an der Stelle x = 0 ist.
Bei solchen konstanten Funktionen hat man den Spezialfall, dass der Leitkoeffizient gleich dem Absolutglied ist, was vielleicht aber manchen Leuten auf den ersten Blick verwirrend erscheint.
aber wie sieht dann f(x) = 8*x^0 + 0 aus ? Mal gucken
Nun , 'Schwester Wolfram sagt : identisch
oder ist plot f(x) = 8*x^0 + 0 and plot g(x) = 0*x^0 + 8 der falsche Ansatz ?
.
Aber welchen Grad muss man denn nun angeben ?
Der Grad der Funktion ist 0.
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Die beiden Terme 8x⁰ + 0 und 0x⁰ + 8 sind beide äquivalent zu 8. Aber beide Darstellungen sind nicht so ganz optimal für die Fragestellung und können zu Fehlentscheidungen führen, was das Absolutglied bzw. den Leitkoeffizienten betrifft.
Vom Gefühl her, versuchst du das, was eigentlich in der „Normalform“ als ein Summand zu betrachten ist, in zwei Teile aufzuteilen, ähnlich als würdest du beispielsweise sagen wollen...
- 8x² + 6x + 2 kann man auch als 5x² + 3x² + 6x + 2 schreiben. Warum ist der Leitkoeffizient nicht 5?
- Oder eher so in der Art: 8x² + 6x + 2 kann man auch als 0x² + 8x² + 6x + 2 schreiben. Warum ist der Grad gleich 2, obwohl ich doch eine 0 vor dem x² stehen habe?
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Genauso wie die (von mir der Übersicht halber gewählte) „Pünktchenschreibweise“ bei
f(x) = aₙxⁿ + ... + a₂x² + a₁x + a₀
bzw.
f(x) = aₙxⁿ + ... + a₂x² + a₁x¹ + a₀x⁰
beispielsweise in dem Sinne nicht optimal ist, da es suggeriert n sei größer als 2, was aber nicht sein muss. aₙxⁿ kann sich auch mit einem der Terme a₂x² oder a₁x (bzw. a₁x¹) oder a₀ (bzw. a₀x⁰) überschneiden kann, wenn n = 2 oder n = 1 oder n = 0 ist.
Im konkreten Fall bei ganzrationalen Funktionen mit Grad 0 verkürzt sich das jedenfalls zu
f(x) = a₀
bzw.
f(x) = a₀x⁰.
In solch einem Fall (bei Grad 0) ist a₀ sowohl der Leitkoeffizient als auch das Absolutglied.
Im konkreten Fall mit f(x) = 8 bzw. f(x) = 8x⁰ ist der Grad gleich 0, der Leitkoeffizient gleich 8 und das Absolutglied gleich 8.
Ich wollte die Beispiele in der ersten Hälfte meines Kommentars eigentlich nochmal abändern, was ich aber nicht mehr rechtzeitig geschafft habe.
- 8x² + 6x + 2 kann man auch als 0x² + 8x² + 6x + 2 schreiben. Warum ist der Grad gleich 2, obwohl ich doch eine 0 vor dem x² stehen habe?
- 8x² + 6x + 2 kann man auch als 8x² + 6x¹ + 2x⁰ + 0 schreiben. Warum ist das Absolutglied nicht 0, sondern 2, obwohl ich doch ein „+0“ hinten stehen habe?
Evtl. sollten dir insbesondere die letzten beiden Beispiele helfen zu verstehen, wo im konkreten Fall (wenn ich auch zugebe, dass es im Fall einer konstanten Funktion etwas verwirrender erscheint) dein Denkfehler gelegen hat.
versteh ich nicht wieso steht da nh 4 wieso steht da nh 3 und wieso eine 8?????