Kann mir jemand helfen gemeinsame Punkte aus zwei Parabeln auszurechnen?
Hallo,
Die Aufgabe lautet:
Untersuche die beiden Parabeln zeichnerisch und rechnerisch auf gemeinsame Punkte.
Ich weiß nicht wie ich das Rechnen soll
f(x)=x^2+4x+6
g(x)= -x^2+4
Mir ist bewusst dass die beiden Funktionen gleichgesetzt werden, und dass man X auf eine Seite bringen muss... allerdings bekomme ich den Rechenweg nicht hin.
Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen
LG crazybook
4 Antworten
Du setzt sie gleich, bringst alles auf eine Seite, auf der anderen steht dann 0, sortierst nach Potenzen, bringst auf Normalform und setzt in die pq-Formel ein. Fertig.
f(x) = g(x) oder
0 = f(x) - g(x). Einsetzen gibt
0 = x^2 + 4x + 6 + x^2 - 4 ausrechnen gibt
0 = 2x^2 + 4x + 2 durch 2 teilen gibt
0 = x^2 + 2x + 1 weiter mit pq-Formel (falls man die erste binomische Formel nicht im Kopf hat)
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Hier also (x + 1) = x^2 + 2x + 1^2
Es folgt:
0 = (x + 1)^2
In der Klammer muss 0 raus kommen, damit die Gleichung gilt.
Also x + 1 = 0
x = -1
doppelte Nullstelle bedeutet hier, dass die Dinger sich da nicht im klassischen Sinne schneiden, sondern nur berühren. Mal dir f(x) und g(x) mal auf - dann erkennst du es.
Hallo crazybook,
wie Du schon geschrieben hast, die Funktionen müssen gleichgesetzt werden:
(1) f(x) = g(x)
Wir wollen den ganzen x² - und x - Krempel auf die andere Seite bringen und ziehen deshalb auf beiden Seiten g(x) ab:
(2) f(x) – g(x) = 2x² + 4x + 2 = 0
Die Gleichung bleibt korrekt, wenn wir sie durch 2 teilen und alles Konstante zurück auf die andere Seite schaufeln:
(3) x² + 2x = –1
Jetzt kannst Du die p-q-Formel mit p=2 und q=1 anwenden oder quadratisch ergänzen. Die quadratische Ergänzung ist natürlich ¼p²=¼·4=1, und so kommen wir auf
(4) x² + 2x + 1 = (x + 1)² = 0,
und damit ist auch
(5) x + 1 = 0,
also
(6) x = –1
als doppelte Nullstelle. Der Funktionswert ist f(1)=g(1)=3. Somit ist also der gemeinsame Punkt der Parabeln (–1|3).
x^2 + 4x + 6 = -x^2 + 4
2x^2 + 4x + 2 = 0
Und jetzt Mitternachtsformel
Die Mitternachtsformel ist nicht die p-q-Formel. Erstere ist für
ax² + bx + c,
und um die p-q--Formel anwenden zu können, muss man erst alles durch a teilen:
x² + (b/a)x + (c/a) = x² + px + q,
wobei natürlich (b/a)=p, (c/a)=q ist.
Ja ich weiß, aber wenn der fs die mitternachtsformel nicht kennt sollte er ja wissen, wie man die pq Formel anwendet...
Wie würde das mit der binomischen Formel funktionieren?