Kann mir jemand bei dieser Textaufgabe helfen (Mathe)?
Hallo Leute :) ich habe angefangen für die Matheklausur zur lernen (Abitur) und zum erstenmal habe ich eine Aufgabe wo ich wirklich garnichts weiß was ich machen muss noch nicht mal den Ansatz. Kann mir jemand die Aufgabe erklären bzw sagen was mann in den einzelnen Teilaufgaben machen muss . Wäre Lieb danke. Aufgabe 1 auf dem Bild
3 Antworten
Hallo,
die Stammfunktion berechnest Du mit Hilfe der partiellen Ableitung:
∫(f*g')=f*g-∫(f'*g)
Dabei wählst Du als Ableitung die Funktion, die sich einfacher integrieren läßt - das ist in solchen Fällen normalerweise die e-Funktion.
f(x)=x²/2-2 f'(x)=x g'(x)=e^(-0,25x) g(x)=-4e^(-0,25x) (Die -4 ist der Substitutionsausgleich für Substitution u=-0,25x, du/dx=-0,25 und dx=du/(-0,25)=-4*du
So kommst Du auf f*g=(x²/2-2)*(-4)*e^(-0,25x)
und f'*g=x*(-4)*e^(-0,25x)
Daher:
∫(x²/2-2)*e^(-0,25x)dx=-4e^(-0,25x)*(x²/2-2)-∫x*(-4)e^(-0,25x)dx
Die (-4) kannst Du aus dem Restintegral herausholen:
-4e^(-0,25x)*(x²/2-2)+4∫x*e^(-0,25x)dx
Nun löst Du das Restintegral wieder mit partieller Integration und wieder wird e^(-0,25x) als g'(x) aufgefaßt:
∫x*e^(-0,25x)dx=-4x*e^(-0,25x)-∫(-4)*e^(-0,25x)dx=-4x*(e^(-0,25x)+4∫e^(-0,25x)=
-4x*e^(-0,25x)-16e^(-0,25x)
Wenn Du diesen Ausdruck für das Restintegral x*e^(-0,25x)dx einsetzt, bekommst Du die Stammfunktion F(x)=-4e^(-0,25x)*(x²/2-2)-16x*e^(-0,25x)-64e^(-0,25x)
Nun klammerst Du noch -4e^(-0,25x) aus:
F(x)=-4e^(-0,25x)*(x²/2-2+4x+16)=-4e^(-0,25x)*(x²/2+4x+14)
Das integrierst Du von -2 bis 2 und teilst 190 m³ durch das Ergebnis, um die Länge des Grabens zu erhalten.
Herzliche Grüße,
Willy
Sollte natürlich partielle Integration heißen, nicht Ableitung.
Aber anscheinend reicht ja Knöpfchen statt Köpfchen, da hast Du recht.
Inhaltlich ist partielle Ableitung ja eigentlich nicht falsch! Ist mir lieber als "Aufleitung"...
Schau dir dazu erst einmal den Graphen der Funktion f an:
a) Den mit Wasser gefüllten Graben habe ich gelb markiert. Du sollst du berechnen, wie breit der Graben im Normalzustand ist, wenn das Wasser also wie auf dem Bild bis zur x-Achse reicht. Das bedeutet, du berechnest den Abstand der Nullstellen. Auf dem Bild siehst du bereits, dass x1=-2 und x2=2 sind. Die Breite wäre also 4m. Das musst du allerdings berechnen und nicht nur ablesen.
b) Wie man durch die gelbe Markierung erkennen sollte ist das nun die Fläche zwischen Graph und x-Achse und demnach ein Integral, welches von Nullstelle zu Nullstelle geht. Dieses sollst du nun berechnen. Denke daran, Betragsstriche zu setzen, weil die Fläche unter der x-Achse ist und sonst negativ wird.
c) Die Querschnittsfläche aus b) mal was (welche Länge) ergibt 190m³? Das musst du hier berechnen.
d) Der Graben bleibt immer gleich, wie die Funktion f es beschreibt. Er ist also durchweg ohne Veränderung genau gleichmäßig.
Bei Fragen einfach melden! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Wie mache ich die Stammfunktion für b ? Ableitung geht ya noch aber die Stammfunktion kann ich nicht.
In Teilaufgabe b) und c) steht der Operator "Bestimme" und nicht, dass du es rechnerisch tun sollst. Sprich, du darfst den GTR zur Hilfe nehmen und musst das hier vermutlich auch, wie das Symbol direkt daneben ja auch zeigt.
Ich habe mein Mathe LK Abitur erst vor einigen Tagen in NRW geschrieben und könnte sowas laut Lehrplan trotzdem nicht lösen, weil wir von solchen Funktionen nie die Stammfunktion bilden mussten, da der Lehrplan das nicht vorsieht.
Das Buch scheint auch der Lambacher Schweizer zu sein, den wir auch hatten, oder? Liegt also nahe, dass du auch aus NRW kommst und das gar nicht kannst. Und selbst wenn nicht: Du darfst den GTR hier trotzdem nutzen, steht ja auch daneben. Du musst die Stammfunktion also gar nicht bilden.
Wie bestimme ich den die Stammfunktion mit dem Gtr ? Wo kann ich es ablesen verstehe es nicht :(
Wie gesagt, du brauchst die Stammfunktion gar nicht bilden!
Wir haben z.B. den Casio fx-CG 20 gehabt. Dort kannst du dir im Grafikmenü / Grafikfenster die Funktion f zeichnen lassen und dann einfach das Integral von Nullstelle zu Nullstelle berechnen lassen. Die Nullstellen kannst du selbst eingeben oder ihn selbst ausrechnen lassen, das geht also ohne jegliche Rechnung innerhalb weniger Sekunden.
Die andere Möglichkeit wäre die Nullstellen selbst zu berechnen oder wie hier ganz einfach abzulesen und in der sogenannten Run-Matrix (also quasi der normale Rechner, wo du z.B. 5*5 rechnen könntest) das Integral von in dem Fall -2 bis 2 berechnen könntest. Das solltet ihr in der Schule eigentlich mal gemacht haben. Dafür brauchst du wie gesagt keine Stammfunktion! Das macht der GTR alles selbst.
Super, sogar der LK macht alles mit dem Rechner. Falls jemand mal später Mathematik studieren möchte wünsche ich gute Nerven...
Super, sogar der LK macht alles mit dem Rechner. Falls jemand mal später Mathematik studieren möchte wünsche ich gute Nerven...
Ich sitze nicht im Ministerium und habe die Lehrpläne und Anforderungen für das Zentralabitur nicht erstellt.
Da hast du recht! Die haben ja auch jetzt erst den Holzweg erkannt und hilfsmittelfreien Teil im Abitur eingeführt, nachdem die Rechenfertigkeiten der Schüler in jahrelanger Arbeit gegen die Wand gefahren wurden.
Da hast du recht! Die haben ja auch jetzt erst den Holzweg erkannt und hilfsmittelfreien Teil im Abitur eingeführt, nachdem die Rechenfertigkeiten der Schüler in jahrelanger Arbeit gegen die Wand gefahren wurden.
Für NRW kann ich das jetzt nicht bestätigen. Ich war im 2. Jahrgang in NRW, der die neuen Lehrpläne mit GTR und dementsprechend auch hilfsmittelfreien Teil hatte. Wer 2 Jahre vor mit Abitur gemacht hat, der hatte nur einen normalen Taschenrechner, mit dem man weder eine Funktion zeichnen noch Nullstellen usw. berechnen lassen konnte. Für sowas braucht es dann auch keinen hilfsmittelfreien Teil. Und wir mussten für das Abitur auch alles schriftlich können, was der Lehrplan eben vorsieht. Von Gauß-Algorithmus bis zur schriftlichen Rechnung mit Matrizen. Aber wie schon gesagt gibt es eben auch Dinge wie z.B. die Quotientenregel oder einige Stammfunktionen, die wir gar nicht gelernt haben und nicht können müssen. Dafür haben wir aber nun einmal einige andere Dinge dazu bekommen. Es sollte also eigentlich ausgeglichen sein, so jedenfalls der Plan. Ob das auch wirklich ausgeglichen ist, weiß ich nicht. Ich mache nicht zweimal Abitur ;)
Wer 2 Jahre vor mit Abitur gemacht hat, der hatte nur einen normalen Taschenrechner, mit dem man weder eine Funktion zeichnen noch Nullstellen usw. berechnen lassen konnte.
Bei manchen Schulen, GTR war aber schon zugelassen...
Dafür haben wir aber nun einmal einige andere Dinge dazu bekommen.
Beispiel? (Abgesehen von zweifelhaften "Anwendungsbezügen", die absolut realitätsfern sind...)
Bei manchen Schulen, GTR war aber schon zugelassen...
In NRW? Das ergibt für mich keinen Sinn. Das beschließt schließlich das Land (NRW) und für das Zentralabitur muss es schließlich gleich sein.
Beispiel? (Abgesehen von zweifelhaften "Anwendungsbezügen", die absolut realitätsfern sind...)
Kann ich dir leider nicht einmal bringen. Soviel ich weiß wurde vor allem bei der Vektorrechnung noch mehr dazu gepackt, wo der Taschenrechner sowieso nicht so viel bringt wie jetzt bei der Analysis. Ich weiß das aber nicht einmal sicher und kann da auch kein konkretes Beispiel bringen.
Ich könnte höchstens Vergleiche mit meiner Schwester ziehen, aber die hatte nun einmal GK und nicht LK, weswegen das nicht viel bringt. Meine Lehrerin hat es jedenfalls so gesagt, wie ich gerade schrieb. Deswegen meinte ich auch: Das war der Plan vom Land. Ob das jetzt wirklich alles ausgeglichen wurde usw., kann ich nicht wirklich bewerten. Ich weiß nur, dass die Klausuren für den Jahrgang vor uns und auch uns selbst nicht so super cool waren. Aber da schließt auch nicht direkt aufs andere...
Zum GTR: Der Einsatz ist jetzt verpflichtend, zugelassen ist er schon mehrere Jahre.
Zu den Unterrichtsinhalten, die in den letzten Jahrzehnten reduziert wurden (nur, was mir auf Anhieb so einfällt...): Weggefallen sind Folgen und Reihen, Grenzwertsätze (aus denen dann die Ableitungsregeln über Beweise (!) abzuleiten sind), Stetigkeitsuntersuchung über epsilon-delta Umgebungen, Untersuchung gebrochen rationaler Funktionen (einschließlich Quotientenregel und Asymptotenbetrachtung), Polynomdivision, vollständige Induktion, Partialbruchzerlegung. Das Studium der Mathematik wird somit auch für den Lk Schüler mit extrem guter Note zunächst ein Schock...
ps: Vektorrechung: Früher war auch Vektorprodukt verpflichtend...
Zum GTR: Der Einsatz ist jetzt verpflichtend, zugelassen ist er schon mehrere Jahre.
Achso, das wusste ich nicht.
Vektorrechung: Früher war auch Vektorprodukt verpflichtend...
Das ist es immer noch. Kam bei mir auch in der Vorabi-Klausur und in der Abiturklausur auch im hilfsmittelfreien Teil dran, sodass man es selbst schriftlich machen musste (was jetzt aber auch kein Hexenwerk ist). Die typische Aufgabe ist es, eine Ebene aufzustellen und sie in Koordinatenform zu bringen, wofür man eben das Kreuz-/Vektorprodukt benötigt.
Beim Rest kenne ich auch einige Dinge, besonders die Polynomdivision, die weggefallen ist...
Verpflichtend ist das Kreuzprodukt auch schon nicht mehr (vgl. S. 5)
Interessant. Ich hätte aber nicht gewusst, wie man die Aufgaben ohne Kreuzprodukt hätte lösen sollen. Das haben wir auch alle ganz normal gelernt und wie gesagt in den letzten beiden Klausuren angewendet.
Macht auch Sinn. Der Weg ohne Kreuzprodukt einen Vektor senkrecht zu zwei anderen zu erstellen geht über ein Gleichungssystem aus zwei Skalarprodukten, bei dem man eine Komponente vorgibt.
Das Spatprodukt funktioniert allerdings über das Kreuzprodukt bzw. Matrixdeterminante (auch im Laufe der Jahre verschwunden...)
Haben wir noch nie so gemacht. Also mag sein, dass das in der Theorie nicht verpflichtend ist, aber wir haben es vermutlich auch in der gesamten Stufe alle mit dem Kreuzprodukt gelernt (zwei M-LK's und 3 GK's). Aber mein Gott, ist im Endeffekt ja auch nicht großartig interessant für die eigentliche Diskussion ;)
b) Wie man durch die gelbe Markierung erkennen sollte ist das nun die Fläche zwischen Graph und x-Achse und demnach ein Integral, welches von Nullstelle zu Nullstelle geht. Dieses sollst du nun berechnen. Denke daran, Betragsstriche zu setzen, weil die Fläche unter der x-Achse ist und sonst negativ wird.
In der Aufgabe steht bestimme, nicht bereche...
Integral mit GTR lösen!
(habe Kommentare erst später ausgeklappt, Text erübrigt sich also...
Die mathematisch zweifelhafte Anforderung erschöpft sich in der Bedienung des GTR
a.) Nullstellen berechnen: Abstand der Nullstellen = Breite des Grabens.
b.) Fläche zwischen den Nullstellen berechnen = Querschnittsfläche des Grabens.
c.) Fläche mal Länge = Inhalt: damit kann man die Länge ausrechnen.
d.) der Ansatz zu c.) setzt voraus, dass die Querschnittsfläche unverändert bleibt auf dieser Länge (das ist in der Natur nicht unbedingt immer der Fall)
Hallo!
paar Fragen- zu b): müsste man dann das integral zwischen den nullstellen berechnen? Und zu c): woher weißt du, dass Fläche mal Länge = Inhalt ist 😅? Ich bitte um schnelle Antwort
VG
richtig: bei b.) ist das Integral zu berechnen.
zu c.) das ist der übliche Ansatz: "Grundfläche mal Höhe = Volumen. Vorteil: klappt bei x-beliebig geformten Grundflächen (die nicht "am Boden" sein müssen). Setzt allerdings voraus, dass "Boden" und "Deckel" des Gebildes parallel sind usw. Da sind also schon ein paar Annahmen zur Geometrie drin, sonst kommt das mit dem Ansatz "Grundfläche mal Höhe = Volumen" nicht hin.
die Stammfunktion berechnest Du mit Hilfe der partiellen Ableitung:
Leider auch das nicht mehr (vgl. meinen Kommentar zur anderen Antwort...)