Kann mir jemand bei diesen Ableitungsaufgaben helfen?
Es geht um Nr.1 m), o), h) l) n) und p) aber von diesen nur die erste Ableitung
3 Antworten
h.)
f(x) = e ^ x / (e ^ x + e ^ -x)
f(x) mit e ^ x erweitern :
f(x) = e ^ (2 * x) / (e ^ (2 * x) + 1)
Quotientenregel anwenden :
f = u / v
f´ = (u´ * v - v´ * u) / (v ^ 2)
u = e ^ (2 * x)
v = e ^ (2 * x) + 1
Kettenregel anwenden --> Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion
u´ = 2 * e ^ (2 * x)
v´ = 2 * e ^ (2 * x)
f´ = (2 * e ^ (2 * x) * (e ^ (2 * x) + 1) - 2 * e ^ (2 * x) * e ^ (2 * x)) / (e ^ (2 * x) + 1) ^ 2
Um es sich beim Rechnen einfacher zu machen substituiert man :
k := e ^ (2 * x)
f´ = (2 * k * (k + 1) - 2 * k * k) / (k + 1) ^ 2
Im Nenner die binomische Formel anwenden :
f´ = (2 * k ^ 2 + 2 * k - 2 * k ^ 2) / (k ^ 2 + 2 * k + 1)
f´ = 2 * k / (k ^ 2 + 2 * k + 1)
f´ = 2 / (k + 2 + 1 / k)
Rücksubstitution :
f´(x) = 2 / (e ^ (2 * x) + 2 + e ^ (- 2 * x))
l.)
f(x) = (ln(4 * x)) ^ 2
Kettenregel anwenden --> Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion, wobei (ln(k * x))´ = 1 / x ist.
f´(x) = (2 / x) * ln(4 * x)
m.)
f(x) = k * sin(a * x)
f´(x) = a * k * cos(a * x)
In deinem Falle also :
f´(x) = 2 * 4 * cos(4 * x) = 8 * cos(4 * x)
n.)
f(x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x)
f´(x) = - 1 / (sin(x) ^ 2)
Das merkst du dir am besten.
o.)
f(x) = e ^ (cos(x))
Kettenregel --> Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion
f´(x) = - sin(x) * e ^ (cos(x))
p.)
f(x) = (1 / x) * ln(x)
Produktregel anwenden :
f = u * v
f´ = u´ * v + v´ * u
u = 1 / x
v = ln(x)
u´ = - 1 / (x ^ 2)
v´ = 1 / x
f´ = - 1 / (x ^ 2) * ln(x) + (1 / x) * (1 / x)
f´ = - ln(x) / x² + (1 / x ^ 2)
f´(x) = (1 - ln(x)) / (x ^ 2)
Das war jetzt einfache Quotientenregel. Aufgabe h) Nichts wildes.
Die war schwerer. Aufgabe L) Hab jetzt Feierabend. Bis bald.
