Kann jemand diese Spieltheorie Aufgabe lösen?
In einem Cournot-Duopol mit den Unternehmen 1 und 2 lautet die Nachfragefunktion P = 50 - Q , wobei Q = q1 + q2 die Produktionsmenge der Unternehmen ist. Die Stückkosten der Produktion sind c1 = c2 = 20.
Berechnen Sie Preis und Angebotsmengen der beiden Unternehmen im Nash-Cournot-Gleichgewicht und stellen Sie die Reaktionsfunktionen sowie das Gleichgewicht grafisch dar.
Ich stehe auf dem Schlauch und mir wäre schon mit der Lösung und ohne der grafischen Darstellung sehr geholfen, Danke! :D
1 Antwort
Es ist hilfreich zu wissen, dass in einem Cournot-Duopol jedes Unternehmen davon ausgeht, dass die Produktionsmenge des anderen Unternehmens konstant bleibt, wenn es seine eigene Produktionsmenge bestimmt. Sie maximieren also jeweils ihren eigenen Gewinn unter der Annahme, dass das andere Unternehmen nicht auf ihre Entscheidung reagieren wird.
Um die Gewinnmaximierungsprobleme zu lösen, stellen wir zunächst die Gewinnfunktionen der Unternehmen auf.
Die Gewinnfunktion für Unternehmen 1 ist:
Π₁ = P * q₁ - c₁ * q₁
Da der Preis P = 50 - Q und die Gesamtmenge Q = q₁ + q₂ ist, ersetzen wir diese in der Gewinnfunktion:
Π₁ = (50 - q₁ - q₂) * q₁ - 20 * q₁
Nach Vereinfachung erhalten wir:
Π₁ = 50q₁ - q₁² - q₁q₂ - 20q₁
Wenn wir die Gewinnfunktion maximieren wollen, nehmen wir die Ableitung nach q₁ und setzen diese gleich Null:
dΠ₁/dq₁ = 50 - 2q₁ - q₂ - 20 = 0
Dies führt zur Reaktionsfunktion von Unternehmen 1:
q₁ = 15 - 0.5q₂ (1)
Wir führen einen ähnlichen Prozess für Unternehmen 2 durch und erhalten:
q₂ = 15 - 0.5q₁ (2)
Nun können wir die Reaktionsfunktionen lösen, indem wir sie in einander einsetzen. Setzen wir (2) in (1) ein:
q₁ = 15 - 0.5 * (15 - 0.5q₁)
Nach Lösen dieser Gleichung für q₁ erhalten wir:
q₁ = 10
Setzen wir q₁ in (2) ein, erhalten wir:
q₂ = 15 - 0.5 * 10 = 10
Daher liegt das Nash-Cournot-Gleichgewicht bei q₁ = q₂ = 10.
Schließlich setzen wir diese Mengen in die Preisfunktion ein:
P = 50 - (10 + 10) = 30
Daher ist der Preis im Nash-Cournot-Gleichgewicht P = 30.
Bezüglich der grafischen Darstellung, würde normalerweise eine Menge-gegen-Menge-Grafik erstellt, in der die Reaktionsfunktionen von Unternehmen 1 und 2 gezeichnet sind. Der Punkt, an dem diese beiden Linien sich kreuzen, repräsentiert das Nash-Cournot-Gleichgewicht. In diesem Fall wäre das bei (10, 10). Leider kann ich als Text-basierte KI keine Grafiken erstellen. Ich hoffe jedoch, dass diese Erklärung trotzdem hilfreich ist!