Ist 1/z komplex differenzierbar?
mit z Element der Menge Komplexe Zahlen und z=x+iy erhalte ich mit den Cauchy-Riemann-DGL, dass 1/z in z0=0 komplex differenzierbar ist, stimmt das?
1 Antwort
Wieso sollte die Funktion an einer nicht definierten Stelle (komplex) differenzierbar sein? Und selbst wenn du ihr für 0 einen beliebigen Wert zuordnest, ist sie nicht stetig (da die Funktion für z gegen 0 betragsmäßig gegen unendlich divergiert) und damit erst recht nicht (komplex) differenzierbar.
Sollte bis dahin alles richtig sein, dann sind die Gleichungen nur für x=0=y erfüllt, was ja kein Problem wäre, da die CR-DGL nur für diese Werte gelten müsste. Aber das Problem ist wieder, dass die Funktion dort nicht definiert ist.
Okay, wäre auf dem ersten Blick in z0=0 diffbar aber aufgrund der Form der Funktion nicht, da nicht definiert und somit dann gar nicht komplex diffbar
Ja genau. Das verhält sich ähnlich wie im reellen Fall für 1/x.
Okay, danke. Kann man das auch anders als über die Cauchy-Riemann-DGL zeigen? Eventuell eleganter?
Und was ich auch noch nicht so ganz verstehe, bei einer weiteren Funktion f(z)=(x-iy)(2-x^2-y^2) nicht ob und wo sie komplex diffbar ist. Mit den CR-DGL erhalte ich 0=0 und einmal eine kreisgleichung mit x^2+y^2=1, die die Lösungen x, y=+-1 hat für x,y=0, also komplex diffbar? Wenn ja wo?
Dass die Funktion in C\{0} differenzierbar ist? Ja es gibt Sätze, dass 1/g(z) differenzierbar ist falls g ungleich 0 und differenzierbar. Dann wurde es reichen zu zeigen, dass f(z)=z differenzierbar ist (über die Definition leicht machbar). Alternativ ist es auch möglich das ganze direkt mittels der Definition über Differenzquotient zu zeigen.
Das muss ich mir mal genauer anschauen. Im Moment habe ich leider dafür keine Zeit. Daher kommt die Antwort erst noch.
Ich hab mir die Aufgabe mal angeschaut und frage mich, wie du auf die Kreisgleichung kommst. Wenn ich die partielle Ableitung des Realteils nach x bilde erhalte ich:
(x^2-y^2+2)/(x^2+y^2+2)
Und für den Imaginärteil nach y:
(x^2-y^2-2)/(x^2+y^2+2)
Damit ergibt sich dann für alle x,y der Widerspruch 2=-2. Daher ist die Funktion nicht differenzierbar.
Ich habe meines Erachtens imaginär und realteil richtig abgeleitet... also
für (x-iy)(2-x^2-y^2) erhalte ich: -x^3-y^2x+2x+i(x^2y+y^3-2y) damit ist
u=-x^3-y^2x+2x
v=x^2y+y^3-2y
jetzt die partiellen Ableitungen von u und v nach x und y:
ux= -3x^2-y^2+2, uy= -2yx
vx= 2yx, vy= x^2+3y^2-2
nach den CR-DGL:
ux=vy folgt die kreisgleichung
und durch uy=-vx folgt 0=0, also was ist hier genau schief gelaufen?
Danke für deine Mühe
Ach ich habe aus irgendeinem (mir unbekanntem ^^) Grund deine Funktion als (x-iy)/(2-x^2-y^2) gelesen. Ohne den Bruch stimmen deine Ableitungen natürlich.
Daher erhälst du, dass die Funktion nur für Werte mit x^2+y^2=1 differenzierbar ist (vorausgesetzt die zugehörige reelle Funktion ist total differenzierbar, was hier aber immer erfüllt ist).
Okay, danke, also an der Stelle z0=+-1 oder wie?
Nein an allen z0=x0+iy0 mit
x0^2+y0^2=1.
Also auf dem Einheitskreis in fer komplexen Zahlenebene.
Okay, aber nach den Cauchy Riemann DGL erhalte ich x=y, -x=y als Lösungen, also weil das widersprüchlich ist nirgendwo komplex diffbar?