Integralrechnung - Volksfest?
Bei einem Volksfest wird die Zustromrate durch die Funktion z(t)=−24t^2+190t+500 und die Abstromrate durch die Funktion a(t)=−7,8t^3+78t^2 bestimmt. (t: Zeit in Std. seit 12.00 Uhr; z,a: Zu-bzw. Abstromrate in Besucher/Std.)
Ich bin mir bei der d) unsicher. Den rest habe ich der Vollständigkeit halber trotzdem mit aufgeführt.
a) Stellen Sie die Graphen von f und g für 0 ≤t ≤10 dar (GTR erlaubt).
Lösung vorhanden
b) Zu welchen Zeitpunkten sind die Raten maximal, wann sind sie gleich ?
Lösung: maximale Rate: Ableitungsfunktionen jeweils 0 setzen ergibt bei z(t) einen HP(95/24 / 21025/24) sowie bei a(t) einen TP(0/0) und einen HP(20/3 / 1122,56)
gleiche Rate: a(t)=z(t) bzw. -a(t)=z(t) ergibt t=10 --> Raten sind um 22:00 Uhr gleich
c) Wie viele Besucher hatte das Volksfest insgesamt?
Lösung: Integral von 0 bis 10 von z(t) dt ergibt 6500 Besucher
d) Wie groß ist die maximale Zahl von Besuchern, die sich gleichzeitig auf dem Volksfest befanden?
Ansatz: Hierzu hatte ich schon einiges in anderen Foren gelesen, aber bin trotzdem noch sehr unsicher. a(t) und z(t) geben Änderungsraten an, also muss ich für die Gesamtanzahl der Besucher die Stammfunktion bilden von z(t)-a(t) und davon dann das Extremum berechnen, was wieder bedeutet, dass ich einfach die Nullstelle ausrechne mit z(t)-a(t)=0 oder?
Sprich: z(t)-a(t)=0 ergibt t1=-1,42416, t2=4,50108, t3=10, Die Ableitung von z(t)-a(t) ergibt für t1=527,989 (TP), t2=-254,143 (HP), t3=490 (TP), somit setze ich t2 in meine Stammfunktion (Integral von z(t)-a(t) dt) und komme auf 1875,12 Besucher.
Ist dieser Weg richtig oder hat jemand noch weitere Hilfestellungen für mich?
e) Zeigen Sie, dass insgesamt alle Besucher das Fest wieder verließen.
Lösung: Integral von 0 bis 10 von a(t) dt ergibt 6500 --> Alle Besucher (siehe Lösung c) mit 6500 Besuchern insgesamt) verließen das Fest wieder
bei e) wäre es natürlich auch möglich das Integral von 0 bis 10 von z(t)-a(t) dt auszurechnen, was insgesamt dann 0 ergibt und gezeigt wird, dass alle Besucher das Fest wieder verlassen haben
2 Antworten
d)
a(t) lautet korrekt a(t) = -7.8*t^3 + 78*t^2
Die Anzahl der aktuellen Besucher ergibt sich aus
b(t) = Integral z(t) - a(t) dt
b(t) = 1.95t^4 - 34t^3 + 92t^2 + 500t
b'(t) = z(t) - a(t) = 0 für t ~ 4.39737
b(4.39737) ~ 1873.75
e)
Alle Besucher verlassen das Fest, weil b(10) - b(0) = 0 ergibt.
a(t) ist negativ für t > 0. Das negative Vorzeichen steckt damit bereits in a(t). Mit a(t) kann etwas nicht stimmen, denn das Integral über [0,10] müsste ja auch wieder -6500 ergeben.
Stimmt, ich hatte einen Vorzeichenfehler. Entschuldigung. a(t)=−7,8t^3+78t^2
Was steckt da anwendungsbezogen dahinter? Ich habe es leider immer noch nicht richtig verstanden. Ich muss also immer aufpassen, ob meine Funktion bereits negativ ist, wenn ich eine Differenzfunktion bilde?
Der Anwendungsbezug ist wie so oft bei solchen Aufgaben (nach meiner Meinung) blödsinnig. Man könnte so eben die Zahl der Anwesenden berechnen. Warum sollten sie sich entsprechend den gegebenen Funktionen verhalten? Und sie müssten bei Eintritt und Verlassen allerdings durch den Fleischwolf.
Ob man a(t) addieren oder subtrahieren muss, hängt davon ab, ob die Anzahl der Abgänge negativ oder positiv gezählt wird. Mit Deinem Tippfehler sah es negativ aus, jetzt ist es wieder positiv. Habe meine Antwort korrigiert.
Kennst du den?
Wenn 3 Leute in einem Fahrstuhl sind und 5 gehen raus müssen zwei wieder reingehen, damit der Fahrstul leer ist.
Dankeschön. Jetzt habe ich es verstanden. Das kann man auch der Abgangsfunktion entnehmen. Irgendwie stand ich da zuvor auf dem Schlauch.
Hab deinen Vorschlag aus Faulheit nicht gelesen.
Meiner wäre: Integral der Differenzfunktion und davon das Extremum bestimmen.
Wie würde deine Differenzfunktion denn aussehen? z(t)-a(t) oder z(t)+a(t)?
Auch wenn die abgeströmte Funktion bereits negativ angegeben ist? Das würde ja der Aussage von Rammstein53 widersprechen oder?
Stimmt, so genau hab ich nicht gelesen. Lass dir doch die beiden Graphen mal mit dem GTR darstellen.
Vielen Dank. Und warum die Summe und nicht die Differenz wie auch Wechselfreund geschrieben hat? Mir fehlt dazu etwas das Vorstellungsvermögen, worin dabei der genaue Unterschied liegt.