In welchem Intervall ist f(x) = sin (x) bijektiv?
Durch ausprobieren mitm Taschenrechner komme ich auf [-0,5 Pi | 0,5 Pi]. Gibts eine mathematische Lösung, bzw. eine die ohne Ausprobieren mit dem Taschenrechner auskommt?
1 Antwort
Für die Injektivität wird ja benötigt, dass jeder Funktionswert maximal einmal angenommen wird. Da um ein Maximum oder ein Minimum die Funktion "umdreht" bedeutet das, dass (stetige) Funktionen kein Maximum oder Minimum in einem bijektiven Intervall enthalten dürfen. D.h.: Du kannst bijektiv kann eine stetige Funktion nur innerhalb eines Maximums und eines Minmums sein. Und damit kannst du die Fragetstellung auf das Finden eines "Maximum-Minimum-Paares" zurückführen. Beim sinus ergibt sich damit das angegebne Intervall, wobei das ja auch Intervalle links oder rechts davon bijektiv sind (bspw [π/2;3π/2])