Ich verstehe die Formel nicht (Dichte)?
Hallo, ich verstehe folgendes nicht:
Die letzte Formel ergibt für mich irgendwie keinen Sinn. Da müsste doch für die Dichte das gleiche rauskommen wie bei den Formeln davor, oder? Oder stimmt was mit der Formel nicht? Kann mir bitte jemand weiterhelfen, ich komme an dieser Stelle einfach nicht mehr weiter?
2 Antworten
Nein, bei der letzten Formel müßte nicht das Gleiche herauskommen. Denn es stimmt, was Du auf ungeklärte Weise schon festgestellt hast: Sie ergibt keinen Sinn.
Schau mal, was die Dimension im Zähler des Bruchs ist: Masse mal Dichte, also Massenquadrat pro Volumen – was für eine physikalische Größe soll das denn sein?
Bei der richtigen Formel hast Du im Zähler für jeden der beiden Teilkörper Volumen mal Dichte, das ist die jeweilige Masse. Die Addition ergibt die Gesamtmasse, und die ergibt, wenn man sie durch das Gesamtvolumen teilt, die Dichte des Gesamtkörpers.
Ersetze mal in der falschen Formel die Malzeichen durch Geteiltzeichen...
(m1/ϱ1 + m2/ϱ2) / (m1 + m2)
...und nimmt vom Ergebnis den Kehrwert. Dann stimmt es:
1/ϱ = (m1/ϱ1 + m2/ϱ2) / (m1 + m2)
Auch wenn im Zähler kg^2/cm^3 auftaucht und das eine ungewöhnliche Einheit ist, wird im Nenner wieder durch die Masse geteilt, so dass das Ergebnis wie gewünscht kg/cm^3 ist, genau das, was für eine Dichte benötigt wird. Die Berechnung ist also durchaus korrekt.
Man kann viele Dinge mathematisch korrekt ausrechnen, die keine direkte Bedeutung im Alltagsleben haben. Darum sind sie noch lange nicht falsch. Die Mathematische Formel für den gewichteten Mittelwert ist:
M = Summe(a_i * b_i) / Summe(a_i)
Welche Einheiten und Werte man dann für a und b einsetzt, ist vollkommen egal.
Ja, das Ergebnis wird mathematisch korrekt berechnet und es hat die richtige Einheit. Falsch ist es dennoch: Der Betrag ist falsch. 4,05 g/cm^3 kommen heraus, aber richtig wären 0,75 g/cm^3. Finde den Fehler!
Es handelt sich um eine physikalische Berechnung. Die mathematische Korrektheit ist dafür eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung. Die Mathematik muß so angewandt werden, daß sie den physikalischen Sachverhalt richtig abbildet. Das hat auch eine direkte Bedeutung im Alltagsleben.
Es ist kein Fehler, wenn man etwas anderes berechnet. Das Ergebnis dann "rho quer" zu nennen, ist irreführend, denn darunter versteht man eindeutig die durchschnittliche Dichte gemittelt über das Volumen. Sowie man aber im Namen klarstellt, dass hier über die Masse gemittelt wurde, wäre wieder alles klar.
Nun hat die Physik die wunderbare Eigenschaft, dass man abstrakte mathematische Formeln auf Gegenstände der Alltagswelt anwenden kann. Wenn die Eigenschaften nicht "Masse" und "Volumen" heißen würde, sondern "Guptas" und "Quanten-Pfronten", wären beide Formeln gleichermaßen korrekt.
Der abstrakte Vorgang der Bildung des gewichteten Mittelwertes für zur durchschnittlichen Dichte, wenn man über das Volumen mittelt, und zu etwas anderem, wenn man über das Gewicht mittelt. Nur weil sich letzteres der einfachen physikalischen Anschaulichkeit entzieht, ist es noch lange nicht falsch. Das ist bei 4-dimensionaler gekrümmter Raumzeit nicht anders, oder bei den 11-dimensionalen Räumen der Stringtheorie.
Es ist ein Fehler, wenn man "rho quer" berechnen will, aber etwas anderes berechnet. Die Klarheit genau hierüber war die, nach der unser Fragesteller suchte.
Du widersprichst meiner heuristischen Feststellung, daß die untere Formel keinen Sinn ergäbe und postulierst, es könne durchaus sein, daß sie das, in irgendeinem anderen, vielleicht unanschaulicheren Kontext betrachtet, und unter Verwendung anderer Bezeichnungen, doch täte. Gut, for the sake of the argument, nehmen wir das mal an. Inwiefern könnte das dem Fragesteller mehr Klarheit geben?
Er könnte dann einschätzen, warum sein Lehrer das so an die Tafel geschrieben hat. Leider ist die Mitschrift ja sehr mager: Weder die Fragestellung noch die hoffentlich mündlich dazu gegebenen Kommentare sind vermerkt. Vielleicht erinnert sich der FS aber noch an Kommentare dazu, wenn man die Stichpunkt "mitteln über die Masse" gibt und erklärt, dass es nachvollziehbar ist, über die physikalische Bedeutung verwirrt zu sein.
Falls der Lehrer das aber doch kommentarlos so angeschrieben hat, war es ohne Frage ein pädagogischer Fehlgriff. Dann wäre es am hilfsreichsten dem FS zu empfehlen, das einfach in seinem Heft durchzustreichen und "was für Freaks" drüber zu schreiben.
Du hast also vollkommen recht: "Sie ergibt keinen Sinn." Und ich habe auch recht: "Sie ist nicht falsch."
PS. Ich wurde von anderen Lesern angesprochen, die euer "ergibt Sinn" gefeiert haben, weil sie sich gerne über das (noch) nicht im Deutschen existierende "macht Sinn" aufregen.
Einverstanden!
Das freundliche Lob der Sprachpfleger trifft mich allerdings ganz unverdient, denn ich habe hier nur die Ausdrucksweise des Fragestellers übernommen und teile die durch Bastian Sick populär gewordene Kritik an der Redewendung, daß etwas "Sinn macht", überhaupt nicht. Wen die Sache interessiert, dem empfehle ich die Artikelserie "Sinnesfreuden" des Linguisten Anatol Stefanowitsch.
http://www.sprachlog.de/2009/01/12/seit-wann-machen-wir-im-deutschen-sinn/
Danke für den Link. Ich schätze, es wird noch 5 Jahre dauern, bis "Sinn machen" im Duden stehen wird.
Ohne die Aufgabenstellung zu kennen ist es kaum möglich herauszufinden, was an der Formel falsch sein soll.
Da gibt es keine Aufgabenstellung. Das ist doch so ersichtlich.
Äh, nein. Du hast nicht erwähnt, was du überhaupt ausrechnen sollst. Die beiden oberen Formeln bestimmen die durchschnittliche Dichte des Körpers, der aus den zwei Materialien besteht. Die letzte Formel die der Durchschnitt über die Massen. Je nach Fragestellung ist das eine oder das andere korrekt.
Ich bin Diplom-Physiker und finde nicht, dass die Aufgabenstellung "ersichtlich" ist.
Das war eine Rechnung, die der Lehrer an der Tafel gerechnet hat. Und ich kann die letze Formel eben nicht nachvollziehen, das ist meine Frage. Da kommt eine andere Dichte raus und ich verstehe nicht warum, denn es sollte doch eigentlich immer die gleiche Dichte rauskommen, egal welche Formel man verwendet.
Nein, da darf natürlich nicht das gleiche herauskommen. Das eine mal mittelst du über das Volumen, das andere mal über die Masse.
Wenn ich zwei Stoffe mische und die Dichte von dem Stoffgemisch bestimme, muss doch immer das gleiche rauskommen, egal über was ich jetzt irgendwas mittele, oder?
Bei den ersten 2 Rechnungen ermittelst du die Durschnittsdichte des Körpers und beim letzten ermittelst du die Durschnittsdichte wenn beide Materialien 1 zu 1 wären.
Und was müsste ich dann für die Variablen einsetzen?
Ich kann dir nicht folgen: Für welche Variablen?
Stelle es dir doch mal physikalisch vor: Du hast zwei Körper mit unterschiedlichen Massen und Volumina. Nun fügst du sie zu einem Körper zusammen. Der hat dann wieder eine Masse und ein Volumen. Von dem rechnest du mit den beiden ersten Formeln die durchschnittliche Dichte aus.
Mit der dritten Gleichung gewichtest du die Einzelwerte aber mit den jeweiligen Massen. Das entbehrt ein wenig der physikalischen Logik. Die Dichte über das Gewicht zu mitteln ist nicht wirklich sinnvoll.
m1, m2, etc.
Die beiden ersten Formel habe ich vollumfänglich verstanden.
Nur bei der dritten tue ich mich schwer. Das ist ja eine Formel um die durchschnittliche Dichte auszurechnen. Diese durchschnittliche Dichte zweier Körper wurde ja schon mit der 1. und 2. Formel berechnet. Und wenn ich jetzt die gleichen Zahlenwerten in die 3. Formel einsetze, kommt nicht das gleiche raus wie bei den ersten beiden Formel, was nach meinem Verständnis eigentlich der Fall sein müsste, da man ja identische Zahlenwerte verwendet hat. Das ist meine Frage.
Wenn ich zwei Stoffe mische und die Dichte von dem Stoffgemisch bestimme, muss doch immer das gleiche rauskommen, egal über was ich jetzt irgendwas mittele, oder?
Nein, natürlich nicht. Und das hast du doch mit den obigen Formeln bereits bewiesen. Mathematik lügt nicht.
Bemerkung: Das um 90 Grad gedrehte Bild ist total nervig. Ich bin dauernd am Skalieren und Drehen, nur um dann wieder zurück zu meinem Text zu finden.
Der Unterschied zwischen den Formel ist worüber der Durchschnitt berechnet wird. Bei der Dichte ist es sehr naheliegend und physikalisch anschaulich über das Volumen zu mitteln. Stattdessen über die Masse zu mitteln, wie in der letzten Gleichung ist mathematisch korrekt, aber es gibt keine einfache physikalische Bedeutung dieses Wertes. Vielleicht hilft es dir, die Aufgabe abstrakter zu formulieren: Statt Masse nimmst du Bananen und statt Volumen Euro. Du hast ein Paket mit 780 Bananen und das andere mit 800. Die ersten kosten 100€, die anderen 2000€. Wenn du nun beide Pakete kaufst, kannst du ein Gesamtpaket daraus machen und den Durchschnittspreis pro Banane berechnen: Die ersten beiden Formeln.
Du kannst genauso gut aber auch über den Preis mitteln: Wie viel Euro hast du durchschnittlich für eine Banane ausgegeben? Das ist ein anderer Wert, der ähnlich nutzlos ist wie mit Massen und Dichten. Es könnte nützlich sein in einer Studie, wie viel Menschen für eine Banane auszugeben bereit sind.
Man muss also bei einem gemittelten Wert eigentlich auch immer angeben, worüber man gemittelt hat.
Tud mir leid wegen dem Bild.
Danke, dass du dir die Mühe machst, es mir so ausführlich zu erklären, aber ich verstehe es leider immer noch nicht.
Warum nimmt man denn eine Formel, wenn sie physikalisch keinen Sinn ergibt? Und wenn ich zwei Stoffe mische ist es doch Fakt, dass das Stoffgemisch eine bestimmte Dichte haben muss, auf die man kommt, egal welche Rechenwege man nimmt, da darf doch nichts verschiedenes Rauskommen, oder?
Und der Durchschnittspreis pro Banane ist doch das Gleiche wie die Euro, die ich durchschnittlich für eine Banane ausgegeben haben?
Warum nimmt man denn eine Formel, wenn sie physikalisch keinen Sinn ergibt?
Weil man es kann. Was dein Lehrer damit zeigen wollte, weiß nur er.
Das Stoffgemisch muss eine bestimmte Dichte haben und das hat sie auch. Unter "Dichte" versteht man die Summe der Massen geteilt durch die Summe der Volumina. Mit der dritten Formel wird eben etwas anderes berechnet. Weil es eine andere Größe ist, kann sie auch einen anderen Wert haben.
Paket 1: 2 Bananen für 3 Euro, 1.50 pro Banane
Paket 2: 4 Bananen für 5 Euro, 1.25 pro Banane
Durchschnittspreis gemittelt über Bananen:
(2*3 + 4*5) / 6 = 26/6 = 4.33 €
Durchschnittspreis gemittelt über Euros:
(3 * 1.50 + 5 * 1.25) / (3 + 5) =
= (4.50 + 6.25) / 8 = 10.75 / 8 = 1.34 €
Der erste Preis liegt also zwischen 3 und 5 €, also zwischen den Paketpreisen, während der zweite zwischen den Preisen pro Banane liegt.
Okay, jetzt habe ich verstanden was du meinst.
Unter "Dichte" versteht man die Summe der Massen geteilt durch die Summe der Volumina. Mit der dritten Formel wird eben etwas anderes berechnet. Weil es eine andere Größe ist, kann sie auch einen anderen Wert haben.
Ich habe Mal die Einheiten der dritten Formel miteinander verrechnet und es kommt tatsächlich eine Einheit für die Dichte raus, wenn ich mich nicht vertan habe. Insofern wird doch mit der dritten Formel auch die Dichte berechnet, da die Einheit die Rauskommt eine Dichteeinheit ist, oder?
Mit der dritten Formel wird auch eine Dichte berechnet, aber nicht die Dichte, wie man sie üblicherweise definert.
Und welche Dichte wird damit berechnet? Die Einheit ist jedenfalls die gleiche wie die der üblichen Dichte.
Es ist die Dichte gemittelt über die Massen der Einzelkörper.
Und welche Einheit hat diese über die Masse gemittelte Dichte?
Sie hat genau die gleiche Einheit wie die übliche Dichte: g/cm^3.
Schaue dir nochmal meinen Kommentar oben an: Auch hier kommt bei beiden Methoden € als Einheiten heraus, aber das eine ist der Mittelwert über die Pakete, der andere über die Bananen.
Okay, danke für deine Mühe, ich verstehe es aber immer noch nicht. Ich werde wohl am Donnerstag, wenn ich das Fach wieder habe, mal den Leher fragen, was er mit dieser Formel ausdrücken wollte. Ich war an an dem Tag, an dem dieses Thema behandelt worden ist, krank und deshalb nicht in der Schule und habe diesen Heftausschrieb deshalb von einem Mitschüler abgeschrieben. Eventuell ist seine Mitschrift falsch oder es fehlen Informationen, die mündlich gegeben wurden und die fürs Verständnis der Formel wichtig sind.
Ich habe den Lehrer jetzt gefragt und er meinte, dass er die Formel nur angeschrieben hat, um zu zeigen, dass sie keinen Sinn ergibt. Diese Information fehlte leider bei der Mitschrift meines Mitschülern und deshalb kam es zu meiner Verwirrung. Vielen Dank nochmal für deine Mühe, es mir zu erklären!
Also hat mein Lehrer eine falsche Formel genannt?