Höhe einer Wasserfontäne - Physik
Hallo,
ich habe ein kleines physikalisches Verständnisproblem:
Betrachten wir ein Boot mit einem Loch im Rumpf: Warum ist die Höhe des einspritzenden Wassers gleich die Einsinktiefe des Bootes? In der Lösung steht nur der wage Hinweis auf die Energieerhaltung (also E(pot)=E(kin)), aber da ich keine Geschwindigkeit des Wassers berechnen kann lässt sich das so nicht beweisen.
lg topsn
PS: An die Mods: Dies ist keine "Hausaufgabe", ich studiere im 4. Semester und bereite mich auf eine Physik-Klausur vor ;)
2 Antworten
Also zunächst mal praktisch: Wenn das Leck seitlich in der Bordwand ist, kommt der Wasserstrahl waagerecht raus und die Form entspricht der Parabel bei einem waagerechten Wurf.
Das Leck muss also genau unten am flachen Boden sein, damit das was wird. Den Fall betrachten wir mal näher.
Im Prinzip passiert da dasselbe, wie bei einem Düker (siehe Onkel Wiki "Düker". Beziehe mich im weiteren auf das Bild dort rechts oben).
Betrachten wir den Düker zunächst mal mit einer Kugel: Diese würde auf der schrägen Ebene von der Wasseroberfläche bis zur tiefsten Stelle beschleunigt runter rollen. Epot wird in Ekin umgewandelt. Im Aufwärtskanal würde dann wie bei einer schrägen Ebene Ekin wieder in Epot umgewandelt. Sofern es keine Reibung gibt, würde sie hinten genau so hoch kommen, wie sie vorne war.
Nun haben wir aber keinen Festkörper sondern eine Flüssigkeit und da müssen wir es etwas anders betrachten, das Prinzip bleibt aber gleich. Da arbeitet der Düker nach dem Prinzip der kommunizierenden Röhren. Es ist jetzt nicht mehr so, dass Moleküle von der einen Oberfläche zur anderen Oberfläche gelangen können.
Epot in einer Flüssigkeit entspricht aber genau dem Druck an der tiefsten Stelle, beide werden ja auch durch die selbe Gravitation verursacht und sind propotional zur Höhe der Wassersäule. Am Leck (tiefste Stelle des Dükers), das wie eine Düse wirkt, wird nun der hydrostatische Druck in Geschwindigkeit umgewandelt. Diese ist direkt im Leck am größten. Das mit dieser Geschwindigkeit nach oben schießende Wasser wandelt anschließend Ekin wieder in Epot um. Dabei spielt es keine Rolle, wenn da nur Luft und kein Kanal ist, solange der Wasserstrahl gebündelt bleibt und nicht zerstreut wird. Rein theoretisch spritzt das also so hoch, wie der Wasserspiegel außen ist. Aber nur theoretisch.
Das Leck ist keine ideale Düse sondern wirkt wie eine Blende und daher wird ein Teil von Ekin im Leck über Wirbel zu Wärme dissipiert. Diese Energie fehlt anschließend in der Höhe. (Über einen Höhenvergleich könnte man sogar den Wirkunsggrad der Umwandlung Ekin in Epot berechnen, der entspricht nämlich dem Verhältnis Höhe Wasserstrahl durch Höhe Wasserspiegel außen).
Nun zur Berechnung: Die Schwierigkeit liegt darin, dass wir die Größe des Lecks nicht kennen, also setzen wir sie einfach mit A an.
Wasserspiegel außen: Epot(1) = A x h(1) x rho(wasser) x 1/2
Erklärung: A x h1 ist das Volumen der Wassersäule über dem Leck. Mal 1/2 deswegen, weil Epot proportional zur Höhe ist, die Wassersäule sich aber über die gesamte Höhe h1 erstreckt, wodruch man für Epot den Mittelwert einsetzen muss.
Ekin = Epot(1), sofern wir jegliche Reibung vernachlässigen. Ekin rechnen wir aber nicht aus. Das entspricht im Prinzip dem freien Fall.
Hinter dem Leck gehts im Prinzip wie bei einem senkrechten Wurf nach oben weiter und dafür gilt:
Epot (2) = Ekin = A x h(2) x rho(wasser) x 1/2
Aus Epot(1) = Ekin sowie
Ekin = Epot(2) folgt:
Epot(1) = Epot (2) und daraus folgt:
A x h(1) x rho(wasser) x 1/2 = A x h(2) x rho(wasser) x 1/2
da kürzen wir nun alles raus und daraus ergibt sich:
h(1) = h(2)
Sofern wir Reibung berücksichtigen, ist Ekin kleiner als Epot(1) und wir müssten die Strömungsverhältnisse im Leck und die dort stattfindende Dissipation berücksichtigen, aber dann wirds ziemlich kompliziert.
Das hat nur mit Energie zu tun. Letztlich sagt der 1.HS (Energieerhaltungssatz), dass die Wassersäulen auf beiden Seiten des Lecks gleich hoch sind.
Die im Wasser gespeicherte Energie ist sozusagen die "negative" Höhenenergie vom Höhenunterschied zwischen Wasseroberfläche und Einsinktiefe. Wenn nun auf einmal das Boot ein Loch bekommt, kann das Wasser nicht höher spritzen, da die Höhenenergie vorher dem Energieerhaltungssatz entsprechend der Höhenenergie nachher entsprechen muss, egal wie mit welcher Geschwindigkeit das Wasser heraus spritzt, da am höchsten Punkt Ekin=0.
Hoffe ich konnte dir helfen :)
eigentlich das Prinzip der kommunizierenden Wasserrohre oder ist nur so nh Frage bin erst 15
Ja genau kann man glaub ich vergleichen. (Bin auch erst 15 :D)
Ok das ist einleuchtend, vielen Dank für die schnelle Hilfe. Schon peinlich wenn man sich seit Jahren mit Naturwissenschaften beschäftigt und dann an sowas scheitert (geschweige denn dass ich schonmal iwas von kommunizierenden Wasserrohren gehört hab) :D
Hast du 100% schon mal nur vielleicht nicht mit dem Namen. Guck dir mal den Wikipediaeintrag dazu an, dann merkst du dass di das kennst.
Auf jeden Fall hat das Ganze nichts mit Energien zu tun. Die beste Antwort ist die mit den Verbundenen Röhren.. Es gilt p = gamma x h, dabei ist gamma= rho x, g= Erdbeschleunigung und h die Höhe, rho ist die Dichte der Flüssigkeit. Das Ganze nennt man "Hydrostatischer Druck".