Hilfe in Mathe (Orthogonalität)?
ich brauche Hilfe bei folgenden Fragen:
Welche Ursprungsgerade ist orthogonal zur Geraden f(x)=-1/5x+3?
Bestimmen sie die Gleichung der Geraden, welche den Graphen von f(x)=0,5x im Punkt P(2/1) senkrecht schneidet
freue mich auf Lösungen und Erklärungen.
Danke!
3 Antworten
- Welche Ursprungsgerade ist orthogonal zur Geraden f(x) = -1/5x + 3?
Die gegebene Gerade hat die Steigung m = -1/5. Um eine Ursprungsgerade zu finden, die orthogonal dazu ist, benötigen wir eine Gerade mit der Steigung m_ortho, für die gilt:
m * m_ortho = -1
Setzen wir die Steigung der gegebenen Geraden ein:
-1/5 * m_ortho = -1
Um m_ortho zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch -1/5:
m_ortho = -1 / (-1/5) = 5
Also ist die Ursprungsgerade orthogonal zur gegebenen Geraden diejenige mit der Steigung m_ortho = 5. Da es sich um eine Ursprungsgerade handelt, geht sie durch den Punkt (0,0), und ihre Gleichung lautet y = 5x.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden, welche den Graphen von f(x) = 0,5x im Punkt P(2/1) senkrecht schneidet.
Die gegebene Gerade hat die Steigung m = 0,5. Um eine Gerade zu finden, die senkrecht dazu ist, verwenden wir wieder die Tatsache, dass das Produkt der Steigungen -1 sein muss:
m * m_ortho = -1
Setzen wir die Steigung der gegebenen Geraden ein:
0,5 * m_ortho = -1
Um m_ortho zu isolieren, teilen wir beide Seiten der Gleichung durch 0,5:
m_ortho = -1 / 0,5 = -2
Jetzt haben wir die Steigung m_ortho = -2 für die senkrechte Gerade. Um die Gleichung der senkrechten Geraden zu finden, verwenden wir den Punkt P(2/1). Die allgemeine Form einer Geradengleichung lautet y = mx + b, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Wir kennen m_ortho und den Punkt P, den die Gerade schneidet. Setzen wir diese Werte ein:
1 = -2 * 2 + b
Jetzt lösen wir nach b auf:
1 = -4 + b
Addieren Sie 4 zu beiden Seiten:
b = 5
Die Gleichung der senkrechten Geraden lautet also y = -2x + 5.
Alle Geraden y = (-1/m)x + c sind orthogonal
zur Geraden y = mx + b. Da deine Steigung
m = -1/5 ist, hat die orthogonale Gerade die Steigung
-1/m = 5. Außerdem geht sie durch den Ursprung.
Du hast also die Steigung und einen Punkt und kannst
damit die Geradengleichung berechnen.
Eine Gerade h(x) = mh*x + bh steht senkrecht auf einer Geraden g(x) = mg*x + bg genau dann wenn gilt mh = -1/mg. h ist genau dann eine Ursprungsgerade wenn bh = 0. Wenn du eine Steigung mh gegeben hast sowie einen Punkt (x1|y1) der auf der Geraden h liegt, so kannst du den noch fehlenden Wert bh berechnen, indem du
y1 = mh*x1 + bh
nach bh auflöst.
Fangen wir doch mal damit an welche Steigung die Gerade haben muß, die f(x) = 0,5x senkrecht schneidest. Wenn du genau wie bei der ersten Aufgabe vor gehst, was kommt dann als Steigung heraus?
Ich hab die erste Aufgabe jetzt gelöst und verstanden, aber die zweite verstehe ich immernoch nicht? Könntest du mir die lösen und anhand der Lösung erklären? So würde es mir leichter fallen.