Hilfe! EF! Stochastische Unabhängigkeit?
Aus einem Behälter mit 7 Kugeln mit den Ziffern 1,...,7 werden nacheinander 2 Kugeln MIT zurücklegen gezogen.
Es werden folgende Ereignisse betrachtet:
A: Auf der 1. Kugel steht eine Primzahl
B: Auf der 2. Kugel steht eine Primzahl.
C: Es wird mindestens eine gerade Ziffer gezogen.
D: Beide Kugeln zeigen eine gerade Ziffer.
E: Mindestens eine Kugel zeigt eine Primzahl
F: Die 1. Kugel zeigt eine gerade Ziffer.
a) Untersuchen Sie die folgenden Ereignisse auf Unabhängigkeit:
1) A und B
2) A und E
3) C und D
4) B und F
5) B und D
Bei „1“ bin ich auf das Ergebnis „abhängig“ gekommen und habe ein Baumdiagramm als Hilfe gezeichnet. Bei „2“ komme ich aber gerade nicht weiter und werde langsam nervös, weil die Klausur am Montag ansteht und ich nicht richtig mit dem Thema klar komme.
Ich bin dankbar für jede Erklärung, jeden Tipp und jede Hilfe!
3 Antworten
Hallo,
bei dem Modell 'mit Zurücklegen' hast Du es immer mit unabhängigen Ereignissen zu tun. Da gibt es nichts zu rechnen.
Nach jedem Zug wird alles wieder auf Anfang gestellt - daher beeinflußt das erste Ziehen in keiner Weise das zweite Ziehen.
Allerdings siehe die Antwort von gfntom.
Hier ist die Abhängigkeit in manchen Fällen durch die Aufgabenstellung impliziert.
Herzliche Grüße,
Willy
Eben.
Du legst die Kugeln nach jedem Zug zurück und alles ist auf Anfang.
Die beiden Ziehungen sind also auf jeden Fall unabhängig voneinander.
Zu untersuchen wäre hier noch, ob auch die angeführten Ereignisse voneinander unabhängig sind.
Ob zum Beispiel Ereignis B eintritt, daß auf der zweiten Kugel eine Primzahl steht, beeinflußt in keiner Weise Ereignis A, daß auf der ersten Kugel eine Primzahl steht.
Schließlich sind alle vier Primzahlen bei jeder Ziehung im Spiel.
Bei Aufgabe 5 könnte es sich aufgabenbedingt um eine Abhängigkeit handeln: Wenn auf der zweiten Kugel eine Primzahl stehen soll und beide Kugeln gerade Zahlen haben sollen, geht das nur, wenn es sich bei der Primzahl um die 2 handelt.
Hier würde das Ereignis D also Ereignis B beschränken, denn die 2 erscheint nur noch mit der Wahrscheinlichkeit von 1/7, während die Wahrscheinlichkeit für irgendeine Primzahl zwischen 1 und 7 bei 4/7 läge.
In dieser Richtung gibt es also wohl doch noch etwas zu tun.
Vielleicht denke ich gerade absolut falsch, aber wenn die Kugeln doch jedes mal zurück gelegt werden, inwiefern beeinflusst dann irgendeine Ziehung die Ziehung einer weiteren Kugel?
Warum glaubst du 1) sei "abhängig"?
P(A&B)= P(A)*P(B)
P(16/49)= P(4/7)*P(3/7)= 12/49 —> abhängig
Kann natürlich auch sein, dass es falsch ist, aber so habe ich es verstanden...
Ich denke, da liegt ein Missverständnis vor (entweder auf deiner Seite oder auf meiner)
bei 1) soll nicht die Wahrscheinlichkeit von A UND B bestimmt werden, sondern ob A von B (oder umgekehrt) abhängig ist.
Zudem wird MIT zurücklegen gezogen.
Das bedeutet, sowohl bei A als auch bei B ist die Wahrscheinlichkeit 4/7
Die Frage ist nun: hängt das Ergebnis beim Ziehen der zweiten Kugel davon ab, was bei der ersten gezogen wurde (oder umgekehrt)?
Ja, das klingt nochmal ganz anders xD
aber wie berechnet man das denn dann?
Es steht ja nicht da "berechne", sondern "untersuche"...
Du musst dir also überlegen (und begründen), ob es für die Wahrscheinlichkeiten B eine Rolle spielt, ob A eingetreten ist (oder umgekehrt)
bei 1 ist es offensichtlich egal: A und B sind unabhängig voneinander, da man beide Male die gleichen Voraussetzungen hat.
anders bei 3: die Voraussetzung dafür, dass 2 Mal eine gerade Zahl gezogen wurde, ist natürlich, dass mindestens ein Mal eine gerade Zahl gezogen wurde.
Wenn man aber eigentlich nichts rechnen muss, warum soll man dann die ganzen Aufgaben dazu bearbeiten?