Hilfe Aufgabe zu quadratischen Funktionen?

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4 Antworten

Hallo,

das ist eine Extremwertaufgabe, bei der Du zwei Gleichungen für zwei Unbekannte, nämlich die Länge und Breite des Geheges, aufstellen mußt. Anschließend kannst Du eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und das Ergebnis in die zweite Gleichung einsetzen. So bekommst Du eine Funktion mit einer Variablen, deren Ableitung Du auf Null setzt, um das Maximum zu bestimmen.

Die Gleichungen ergeben sich daraus, daß die Fläche maximal werden soll und daraus, daß insgesamt 6 m Zaun zur Verfügung stehen, die für drei Seiten des Rechtecks gebraucht werden (die vierte ist ja bereits vorhanden).

Rechteckfläche ist x*y (soll maximal werden).

Drei Seiten des Rechtecks sind zusammen 6 m lang, mindestens zwei von den Seiten haben die gleiche Länge, nämlich die beiden gegenüberliegenden: 2x+y=6

Auflösen nach y:

y=6-2x

Einsetzen in die Gleichung für die Fläche:

x*(6-2x)=6x-2x²=-2x²+6x

f(x)=-2x²+6x ist die Funktion, die maximal werden soll.

f'(x)=-4x+6

Ein eventuelles Maximum ist da, wo die erste Ableitung Null wird:

-4x+6=0

4x=6

x=1,5

Wenn es sich wirklich um ein Maximum handelt, muß f''(1,5)<0 sein:

f''(x)=-4

Also ist f''(x) überall <0, natürlich auch an der Stelle x=1,5.

Es handelt sich tatsächlich um ein Maximum.

2x=3, also ist y=6-2x=6-3=3

Das Gehege hat also eine quadratische Form und ist 3x3 m² groß.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von kindgottes92
02.10.2016, 00:12

Stimmt bis auf den Antwortsatz, das Gehege ist 1,5m*3m groß. 

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Ich will mal beginnen mit Teil B) deiner Aufgabe.

   " Eine Zeichnung sagt mehr als tausend Worte. "

  
Verläuft die Garagenwand parallel zur Grundstücksgrenze? Die Drahtseite
des Pferchs parallel zur Grenze nenne ich p ( wie parallel ) ;
senkrecht zur Grenze s . Dann lauten die Bedingungen

     F ( p ; s ) := p s = max     ( 1a )

     2 s = 6 = const   ( 1b )

   
Wenn du ( 1b ) einsetzt in ( 1a ) , siehst du sofort, dass es kein
===> lokales Maximum gibt. Du kannst ja p so groß machen, wie du
willst ( begrenzt allein durch die Länge der Garagenwand. )

    Anders sieht es aus, wenn Garagenwand und Nachbarzaun zueinander senkrecht stehen. Dann wird ( 1b ) ersetzt durch

   U ( x ; y ) := x + y = 6 = const      ( 2a )

   
In worten: Unter allen Rechtecken mit konstantem Umfang 12 m ist das
Flächen größte gesucht; die Lösung kennst du: das Quadrat

           x  =  y      ( 2b )

    Wozu ich dir allerdings DRINGENDST raten würde: Versuch doch mal, ( 2b ) mit Hilfe des ===> Lagrangeverfahrens abzuleiten

   ( " Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino " )

   
Solltest du es nicht auf die Reihe kriegen, meld dich ruhig nochmal.
Mit Lagrange siehst du übrigens auch sofort ein, dass die reziproke
Aufgabe die selbe Lösung haben muss:

    " Unter allen Rechtecken mit gegebener Fläche ist das Quadrat dasjenige mit dem kürzesten Umfang. "

     In Aufg A) wird ( 2a )  ersetzt durch

     U ( p ; s ) := p + 2 s = 6 = const   ( 3 )

    Die Namen der Genies - ich vergesse sie immer wieder. In dem Konkurrenzportal " Lycos " meldete sich mal eines.

   
Die Aufgabe: " Unter allen Bushaltestellen mit gegebenen Volumen ist
diejenige gesucht mit geringstem Materialverbrauch, d.h. geringster
Oberfläche. "

    Sei x die Seite parallel zur Straße, z die Höhe und y die Tiefe. Jetzt sagt mein Gewährsmann

   " Gehen wir davon aus, dass für einen ( geschlossenen ) Quader die Lösung auf einen Würfel führt. "

  
( Kannst du übrigens nur noch mit Lagrange rechnen; du hast ja 3
Veränderliche, aber nur eine Nebenbedingung. ) Soll ich's dir machen?

   
Jetzt wird es spannend; mein Gewährsmann schließt SÄMTLICHE offenen
Seiten der Bushaltestelle durch Spiegel. Das gibt zwei Stück; einen
Front-so wie einen Bodenspiegel ( bitte nicht vergessen )

   Dann
ergeben sich insgesamt 3 Spiegelbilder, die natürlich kongruent sind zu
der ursprünglichen Bushaltestelle. Zählst du alle vier zusammen, hast du
einen geschlossenen Quader mit 4-fachem Volumen ( und 4-facher
Oberfläche ) der ursprünglichen Bushaltestelle.

    Die

Extremwertprobleme von Quader und Bushaltestelle erweisen sich als

äquivalent. Der Quader hat aber - bitte schau in den Spiegel -  Seiten x

, 2 y ( Frontspiegel ) so wie 2 z ( Bodenspiegel ) Lösung ist der

Würfel

              x  =  2 y  = 2 z      (  4a  )      

        2 y = 2 z ===> y = z    ( 4b )

    Oft versteht man die einfache Situation leichter, wenn man vorher  die komplizierte durch gespielt hat.

Es wird nicht gesagt, gegen welche Wand Susanne den Pferch abgrenzt.

Setze einen Spiegel in die Wand, und du schließt das Rechteck mit den

Seiten p und 2 s . Lösung ist das Rechteck

              p  =  2  s      (  4c  )

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Die klassische erste Minimax-Aufgabe:

u         = 6
a + 2b = 6                        Eine Seite des Rechtecks liegt an der Wand
a         = 6 - 2b

ab        = (6 - 2b) * b        Darstellung der Rechtecksfläche nur in b

A(b)     = 6b - 2b²             Rechtecksfläche als Funktion; jetzt ableiten nach b

A'(b)    = 6 - 4b                wird 0 bei einem Extremwert
4b        = 6            |  /4
  b        =  3/2  

  a       = 6 - 3
  a       = 3

Die maximale Fläche wird bei a = 3 m und b = 1,50 m erreicht, daher
A(max) = 4,5 m²

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Kommentar von Junkpilepunk
02.10.2016, 00:21

es müsste doch u=a+3b sein

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a)Also sie will, dass es möglichst groß wird, das rechteck mit größtem flächeninhalt und kleinstem umfang ist immer ein Quadrat (ich würde an susannes stelle ja einen runden Auslauf bauen :P )

bei einem Quadrat sind alle 4 seiten gleich lang also ist deine gesuchte seitenlänge 6m/4.

b) Hier wirds schwerer. hier suchen wir wieder die seitenlänge (nennen wir die hier mal x). die größte fläche kriegen wir wieder mit einem quadrat. Da eine seite von der garage kommt teilt sich der zaun nur auf 3 Seiten uf, also 6m/3.

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Kommentar von Volens
02.10.2016, 00:11

Die klassische Antwort: das maximale Rechteck ist ein Quadrat.
Das stimmt leider nicht mehr, wenn eine Seite fehlt.

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