Hat die Stammfunktion maximal eine Nullstelle mehr?
Wenn f''(x) keine nullstelle hat, dann kann f'(x) maximal eine und f(x) maximal zwei nullstellen haben.
Ist diese annahme Richtig?
2 Antworten
Wenn du weißt was die Funktion bei f''(x) = 0 macht und dir den symbolischen Graph vorstellst wenn es kein x für f''(x) = 0 gibt, müsstest du drauf kommen, dass eine Funktion die bei f''(x) keine und f'(x) höchstens eine Nullstelle gibt entweder eine Gerade oder Parabel handelt.
Bzw anders formuliert,
Existiert eine Funktion F für die gilt:
F'(x) hat n nullstellen
F(x) hat MEHR als n+1 nullstellen
Für f(x) stimmtdas glaube ich nicht mehr, weil eine Funktion mit mehreren Krümmumgswechseln und damit Wendepunkten (Extrema) komplett im positiven oder negativen Bereich der y-Achse verlaufen kann. Bei keinem Krümmungswechsel kann sie nur ein Extremum haben und damit die x-Achse höchstens zweimal schneiden.
Wenn es kein f"(x) = 0 gibt, hat die Funktion keinen Wendepunkt. Also steigt oder fällt sie kontunierlich und schneidet einmal die x-Achse.
Sobald es Minimum oder Maximum gibt, ist die Steigung davor und danach mit anderen Vorzeichen und die Kurve schneidet auf jeder Seite die x-Achse einmal. Für weitere Schnittpunkte mit der x-Achse müsste die Kurve ihre Krümmumg ändern, aber da wäre f"(x)=0.
Danke, jetzt frage ich mich aber, ob das allgemein gültig ist Bsp: wenn f''(x) 5 nullstellen hat, kann f'(x) dann maximal 6 nullstelle haben usw. Also ob die Stammfunktion einer Funktion maximal eine nullstelle mehr hat als die Ableitung