Hallo, wie bitte lautet die Funktionsgleichung von dieser Zykloide in der form x(y)?
Kann man diese Kurve denn überhaupt als Funktion darstellen? Lösungsweg wäre super. Erstes mal Mathe und ja...
4 Antworten
(1) x(t) = r * t – r * sin(t)
(2) y(t) = r – r * cos(t)
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(2a) t = arccos(1 – (y / r))
(2b) cos(t) = (1 – (y / r))
sin(t) =√(1 – cos²(t))
(2b) sin(t) = √(1 - (1 – (y / r))²)
(2b) sin(t) = √(1 – (1 – (2 * y / r) + (y² / r²)))
(2b) sin(t) = √((2 * y / r) - (y² / r²))
(2a) und (2b) in (1)
x(y) = r * arccos(1 – (y / r)) – r * √((2 * y / r) - (y² / r²))
x(y) = r * arccos(1 – (y / r)) – √(2 * y * r - y²)
Gleichung der Zykloide für 0 <= x <= r * π:
x(y) = r * arccos(1 – (y / r)) – √(y * (2 * r - y))
Anm.: Eine Auflösung in eine Kurvengleichung der Form y(x) ist nicht möglich.
(1.) Setzen wir x_0(y) := r * arccos(1 – (y / r)) – √(y * (2 * r - y))
Um alle möglichen reellen Lösungen für x(y) zu erhalten, nehme man alle
x(y) = k*2*r*π ± x_0(y) für beliebige ganzzahlige Werte von k.
(2.) Anm.: Eine Auflösung in eine Kurvengleichung der Form y(x) ist nicht möglich.
Das scheitert eigentlich nur daran, dass die gewohnten Standardfunktionen dazu nicht ausreichen. Man könnte aber allenfalls eine neue Funktion zykl der Art
y = zykl(x) "erfinden" bzw. definieren.
Der Vorteil wäre der, dass dann die Funktion zykl eine auf ganz R definierte und stetige Funktion wäre, welche außer an ihren "Spitzen" mit x = 2k π auch differenzierbar wäre.
Die Gleichung y(t) = r - r * cos(t) läßt sich nach cos(t) auflösen. Und im Prinzip mit Hilfe von arcos nach t auflösen. Dieses kannst dann in die Gleichung x(t) = ... einsetzen. Ich vermute aber, dass du einen Angabenfehler hast.
Heißt es vielleicht richtiger x(t) = r - r * sin(t)
Weil du dann nach t auflösen kannst. Das Ganze erscheint mir aber unsinnig, so wie es auch rumar schon geschrieben hat.
2 Fragen bitte. Ist das die Umkehrungen von y(t) -> arccos(y(t)-1)=t und warum ist es Unsinn wenn ich das dann in x(t) einsetzte?
Algebra: t = arccos{ [ 1 - y(t)/r ] ; Die Formulierung unsinnig bezog sich nicht auf die formale Lösung sondern auf den Sinn der Aufgabenstellung.
Meiner Meinung nach ist für diese Kurve eine parameterfreie Darstellung ziemlich unsinnig.
Man könnte da zwar schon so irgendwas basteln, aber es wäre umständlich (Aufteilung von Definitions- und Wertebereich in Teilintervalle erforderlich) und für die Untersuchung der Kurve kaum sinnvoll.
Oder verlangt das jetzt jemand von dir ? Zu welchem Zweck ?
Wenn schon, würde ich dann doch eher eine Darstellung in der Form y=y(x) vorschlagen (anstatt umgekehrt) !
x(y) ist keine Funktion, denn für t=±π/2 bekommst Du verschiedene x-Werte bei gleichen y-Werten. Auf dem Hauptzweig t∊[0, π) ist es aber kein Problem:
t=arccos(1–y/r), also x(y)=r·arccos(1–y/r)–r·sin(arccos(1–y/r)).
Oder meintest Du y(x)? Das ist sicher eine Funktion, weil x(t) bijektiv ist. Allerdings ist t(x) nicht geschlossen elementar darstellbar, also auch nicht y(x).
Nené ich meinte schon x(y), vielen dank für die Erklärung. Aber warum nennt man das keine Funktion mehr ab π. Ich frage nur noch zum Verständis. Wieso darf es bei verschiedenen x-werten aber gleichen y-werten nicht Funktion genannt werden?
Für eine Funktion f: A ...> B ist definitionsgemäß verlangt, dass es zu einem Wert in der Ausgangsmenge A nur einen (bzw. maximal einen) zugehörigen Wert in der Zielmenge B gibt.
Im vorliegenden Beispiel wäre die Zuordnung x ---> y über der Definitionsmenge der reellen Zahlen eine Funktion, die "umgekehrte" Zuordnung y ---> x (die du anscheinend betrachten willst) aber nicht.
Für die Beschreibung eines kleinen Kurvenausschnitts in der Form y ---> x kannst du noch da nachschauen:
https://de.wikipedia.org/wiki/Zykloide#Mathematische_Darstellung_der_Zykloiden
Eig nicht. Ist richtig geschrieben. Trotzdem verstehe ich nicht warum nach cos(t) aufgelöst wird?