Gibt es ein Programm unter Linux, das Fernsehsendungen aufzeichnen kann, und die Aufnahme speichern?

Ja, zum Beispiel MythTV, guckst du hier:

https://wiki.ubuntuusers.de/MythTV/

oder schau mal hier, was es sonst noch so gibt:

https://wiki.ubuntuusers.de/TV/

Es gibt sogar spezielle "Media Distributions" von Linux, die dafür ausgelegt sind, so was mit ein paar Mausklicks (plus ggf. Datum und Uhrzeit des Sendungsbeginss eintippen). Moment bitte - ich frag mal Google.

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Man braucht natürlich noch die entsprechende Hardware für den Empfang der Sendungen.

Suche.

https://www.google.de/search?q=media+center+distribution+linux&ie=utf-8&oe=utf-8

Beim ersten Überfliegen ist der erste, deutschsprachige, Treffer - https://www.pcwelt.de/ratgeber/Das_ideale_Mediencenter_fuer_Linux_-_so_geht_s-Linux-Kino-7971670.html - nicht besonders vielversprechend.

Umso mehr aber der zweite, englischsprachige: http://www.makeuseof.com/tag/awesome-linux-media-center-distros-htpc/

Tvheadend - das nehme ich.

MythTV gibts auch noch - bin aber noch nicht dazu gekommen das auszuprobieren.

mit  kaffeine kann man TV-Sendungen ansehen und auch aufzeichnen.
Das Format (mt2) kann aber offensichtlich nicht auf TV-Recordern oder TV-Geräten selbst wiedergegeben werden.
Mit ffmpeg lässt es sich aber in die Formate avi und mp4 umwandeln.
Mein Panasonik-Recorder spielt solche Dateien ab, mein Samsung-TV-Gerät nicht.