Gibt es das Wort „öfters“ oder ist das falsch?

Ja, das Wort existiert; es steht auch im Duden als "landschaftlich" für "öfter", ist also eine regionale Variante.

"Öfters" hört man nicht nur In Süddeutschland und Österreich, sondern auch in NRW.

Ja. Es bedeutet „ziemlich oft“. Der Komparativ hat ja öfters diese Bedeutung, z.B. in der Formulierung „ältere Menschen“.

Das -s am Ande steht wohl dort in Analgie zu anderen Zeitadverbien wie abends, morgens und nachts. Ursprünglich war es einmal die Endung für den Gen. Sg., aber diese Bedeutung ist längst verblaßt.

Nein, aber es wird immer öfters gebraucht...

Nein, es heißt öfter.

Ja, gibt es.