Ganzrationale Funktion 3. Grades Mittelwert berechnen?
Hi ich soll morgen eine Reihe von Aufgaben präsentieren und bei einer bin ich mir nicht sicher (es kommt mir zu einfach vor). Es gibt
f(t)=0,5t^3-4,5t^2+18t-6t+50 und
f(t)=0,5t^3-7,5t^2+30t-6t+50, die beide für geschwindigkeiten von Vögeln in km/h (t steht für Zeit in h) stehen. Ich soll nun sagen welcher im Intervall [0;4] schneller fliegt und ihre Mittelwerte berechnen. An diesen Stellen (0/50) und (4/42) schneiden sie sich auch. Meine Frage ist nun, da das Thema schon länger her ist : muss man einfach nur f(4)-f(0)/2 rechnen, da man nur die beiden Werte nimmt oder /4 da 4 Stunden vergangen sind? Außerdem hab ich gelesen, das der Mittelwert der Funktion das Intgral von 0 bis 4 von f(x)durch 4 sei, jedoch kommt in diesem Fall kein sinnvolles Ergebnis heraus, da man so ja wegen dem Integral die Strecke berechnet statt der Geschwindigkeit.
Hoffe ich habe nicht zu viel geschrieben!^^ Schönen Abend noch, oschkop
2 Antworten
Die zweite Funktion solltest Du lieber g(x) nennen. Da f(x) und g(x) sich nur bei
x = 0 und x = 4 schneiden, ist eine von beiden im ganzen Bereich dazwischen größer als die andere. Um zu sehen welche, berechnest Du zB f(1) und g(1).
Und wie muss man dann die mittlere Geschwindigkeit berechnen?
Für den Mittelwert musst Du wie poseidon schreibt, und wie Du ja auch geschrieben hast, das Integral berechnen und durch 4 s teilen.
Weg durch Zeit gibt Geschw.
Für f(x) ist das Mittel 58 km/h und für g(x) 66 km/h.
Also wenn du den Mittelwert in einem gegeben Intervall I ausrechnen willst, so müsstest du das Integral der Geschwindigkeit für dieses Intervall bilden und durch die Intervall-Länge teilen. Die Zusammenhänge sind folgende:
s´(t) = ds/dt = v(t)
Int [ v(t)dt ] = s(t)
v= s/t ----> v(Mittel) = Int(im Intervall I) [ v(t)dt ] *1/(delta t)
Im Endeffekt berechnet man die Strecke, die in dem Zeitraum delta t zurückgelegt wurde (über das Integral der Geschwindigkeit). Man nimmt anschließend an, dass diese Strecke mit einer festen Geschwindigkeit v(Mittel) zurückgelegt wurde und teilt dafür die zurückgelegte Strecke s durch die Zeit die für diese benötigt wurde. Dadurch erhälst du v(Mittel), die Geschwindigkeit die die Vögel in diesem Zeitraum im Schnitt geflogen sind.
Also angenommen, ich berechne das Integral von der ersten Funktion f(t)=0,5t^3-4,5t^2+12t+50 ; im Intervall I [0 , 4] , so erhalte ich eine Strecke von: s= 232km . Teilt man dies nun durch die Zeit delta t = 4h , so erhält man eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 58km/h .
Bei der 2. Funktion f(t)=0,5t^3-7,5t^2+24t+50 ; erhalte ich als Ergebnis für das Intervall I eine Strecke von: s= 264km . Teilt man dies wiederum durch die Zeit delta t= 4h , so erhält man eine Geschwindigkeit von: v= 66km/h .
Ich habe mir auch mal die beiden Graphen in Geogebra angeschaut und muss sagen, dass die von mir ermittelten Werte eigentlich realistisch sind. Du hast dich anscheinend an irgendeiner Stelle gewaltig verrechnet ^^.
Ah ok danke .Ich hab es jetzt auch noch mal nachgerechnet anscheinend hab ich da nur durch 2h geteilt anstatt durch 4.
Ja das habe ich auch schon versucht, nur da kommt raus 106km/h was etwas seltsam erscheint, da in diesem Intervall der Graph von (0h/50km/h) runter (x=2: Tiefpunkt) und wieder hochgeht zu (4h/42km/h)