Funktionsschar mit natürlichem Logarithmus?
Kann mir jemand die Nr. 28 erklären? Ich habe keine Ahnung wie ich vorgehen muss
3 Antworten
Es folgt eine grobe Lösung:
f(x, a) = ln(ax)
--> d/dx (f(x, a)) = 1/x unabhängig von a
Wobei: 1/x > 0 für alle x aus (0, inf) --> Monoton Steigend (a > 0)
Wobei 1/x < 0 für alle x aus (-inf, 0) ---> Monoton fallend (a < 0)
Mit d²/dx² (f(x,a)) = -1/x² < 0 für alle x ungleich 0 ---> konstante Krümmung (Rechtskrümmung)
Für die a.) berechnest du die erste Ableitung und siehst dann, dass das a rausfällt, für die b.) und c.) gibst du jeweils den Definitionsbereich der Funktionenschar an und schaust dann, welches Vorzeichen die erste Ableitung also die Steigung hat in diesem Definitionsbereich, wenn sie immer positiv und ungleich Null ist, ist die funktion z.B. streng monoton steigend. Und bei der d.) berechnest du die 2. Ableitung und schaust, welches Vorzeichen diese hat und dann siehst du dass sie immer negativ ist, somit sind alle Gaphen rechtsgekrümmt. 2. Ableitung ist ja die ´Krümmung und negatives Vorzeichen ist rechtsgekrümmt.
Die Ableitung von y = ln(ax) ist y' = 1/(ax) • a = 1/x
y' ist die Steigung der Funktion, also unabhängig von a
Die Funktion ist für a>0 nur für x>0 und für a<0 nur für x<0 definiert