Kann mir jemand Logarithmus einfach erklären?
Hallo, Ich schreibe demnächst eine Mathe Klausur, in der Logarithmus drin vorkommt. Jedoch verstehe ich ihn einfach nicht... Kann mir jemand erklären wie ich den anwende und wann?
7 Antworten
Den Logarithmus versteht man nur, wenn man zuvor die Potenzbildung verstanden hat. Die wiederum ist Alltagserfahrung, weil unser Zählsystem in Wahrheit auf Potenzreihen beruht.
Wir sprechen von einem Hunni wenn wir einer "1" mit zwei Nullen bezahlen.
Ein Tausi, wenn die "1" gar mit drei Nullen verziert ist.
Ein Milliönchen wäre eine "1" mit gar sechs Nullen.
Also: 100 = 10^2
1000 = 10^3
1000000 = 10^6
Also wenn es darum Nullen an- oder abzuhängen drückt der Logarithmus nichts weiter aus als die Anzahl der Nullen nach der Eins. So einfach ist das.
Jetzt wird es aber spannend:
Wenn Log(1000) = 3 ist und
wenn Log(100) = 2 ist, was ist dann
Log(500) ?
Vielleicht 2,5? Also: Zwei und eine halbe Null?
Wenn man 10^2,5 in den Taschenrechner eintippt kommt 316,2 heraus und nicht 500. Also muss man ein wenig mehr nehmen
10^2,7 = 501,2 . Schon besser und fast getroffen aber ein Tacken zuviel.
Neuer Versuch: 10^2,69 = 489,8. Dumm gelaufen. Zu tief gegriffen.
Damit Du nicht jedesmal mühsam nach dem richtigen Exponenten fahnden musst, gibt es auf dem Taschenrechner die Logarithmustaste. Du tippst einfach 500 ein und drückst auf LOG. Geliefert wird es korrekte Ergebnis:
2.6989700043360188047862611052755
Mach die Probe aufs Exempel und tipp einfach 10^2,6989 in Deinen Rechner ein. Dann hast Du Dein ultimatives Logarithmuserlebnis und siehst, dass die 500 fast genau reproduziert wird.
Logarithmen haben etwas mit Potenzen zu tun: Ist
(1) a = b^{x}
('b' wie „Basis“, 'x' wie „Exponent), dann ist
(2) x = log[b](a)
(das '[b]' ist ein Index und man muss sich das eigentlich tiefgestellt vorstellen, z. B.
2⁵ = 32 ⇒ log₂(32) = 5.
Es gibt die Logarithmengesetze, die sich von den Potenzgesetzen herleiten lassen. Eines davon ist
log[b₂](x) = log[b₁](x) / log[b₁] (b₂),
mit dem sich Logarithmen zu verschiedenen Basen ineinander umrechnen lassen, darunter auch in den Logarithmus zur EULER'schen Zahl e, der als natürlicher Logarithmus und mit ln(… ) bezeichnet wird.
Die besondere Bedeutung der EULER'schen Zahl erschließt sich, wenn man x als Variable und e^{x} als Funktion auffasst. Die ergibt abgeleitet (d.h. Steigung an jedem Punkt berechnet) genau sich selbst.
hast du ne gleichung der Art 2^x=6, dann ist
der logarithmus zur basis 2 von (6) die Lösung.
Viel mehr oder weniger ist es nicht, was wirklich anschauliches gibt es dazu nicht .
geschrieben wird der Logarithmus beispielsweise als
log(6) wobei unten an das log noch eine kleine 2(weil 2 die basis ist) drankommt.
Ist schlicht und ergreifend eine schreibweise so, berechnen kann das ausser einem taschenrechner in den meisten fällen sowieso niemand :-D
gibt dann allerdings noch ein paar rechengesetze dazu,
dass du einen x-beliebigen logarithmus durch den quotienten aus 2 bestimmten logarithmen zur basis 10 ausdrücken kannst.
Achja, und lautet deine Basis e, also die eulersche Zahl, dann schreibt man da nicht das log mit einem kleinen e dran sondern einfach ln(6) und nennt das teil den natürlichen Logarithmus.
Aber wie gesagt, ausser dass es eine schöne schreibweise ist, um die lösung des obigen problems zu benennen, gibt es wohl keine tiefere mystik dahinter.
Musst halt einfach die logarithmusgesetze auswendig kennen.
siehe Mathe-Formelbuch,was man privat in jeden Buchladen bekommt.
Kapitel "Logarithmengesetze"
beispiel : 10^3=1000 logrithmiert ergibt log(1000)=3
hier ist die Basis "10" .Dieser Logarithmus ist auf deinen rechner installiert
e^3=20,085... logarithmiert ergibt ln(20,085)=3
hier ist die "Basis" e=2,7... ist auch auf deinen Rechner installiert.
Beispiel : 4^3=64 logarithmiert ergibt log(4^3)=3*log(4)=log(64)
3=log(64)/log(4)=3
oder auch 3=ln(64)/ln(4)
Bei dieser Aufgabe kannst die Logarithmus mit der "Basis" 10 und den Logarithmus mit der "Basis" e=2,7... verwenden
siehe "Logarithmengesetze" log(a^x)=x * log(a)
oder log(u/v)=log(u)-log(v)
oder log(u*v)=log(u)+log(v)
den Rest kannst du selber aus den mathe-Formeklbuch abschreiben.
Im Mathe-Formelbuch stehen 4 Formeln,mit diesen kannst du alle Aufgaben rechnen.
Wenn ihr kein Formelbuch für die Arbeit nutzen dürft,dann schreibe die 4 Formlen auf einen zettel und steck diesen in deine Tasche.
Bei jeder Gelegenheit ziehst du dann den Zettel und liest die Formeln so lange,bis du sie auswendig kannst.
MERKE : "Kopiern geht über studieren".man muss nur wissen,wo es steht und man muss damit umgehen können.
In der Mathematik muss man die Rechenregeln und Formeln nur exakt anwenden können und die stehen alle im Mathe-Formelbuch.
HINWEIS : Y=x*x*x=x^3 ergibt x=3.te Wurzel(y) dafür brauchst du keinen Logarithmus.
27=3*3*3=3^3 eregibt 3=3.te Wurzel(27)=3
Wenn du aus der Gleichung
a^x = b
a und b weißt, so kannst du x über den Logarithmus zur Basis a bestimmen:
x = log_a (b)
Leider habe ich kein Formelbuch für die Arbeit, da ich erst ab nächstem Jahr eine bekomme für die Kursstufen, da ich 13 Jahr hab :/