Frage von hilfebittefatal, 18

Funktion mit nur einem Hyperbelast?

Gibt es Funktionen welche nur einen Hyperbelast haben? Falls ja, welche?

Antwort
von ralphdieter, 5

Ja, z.B. y=√(x²+1)

Allgemein:

  • Du kannst den Graphen x·y=1 um 0<𝛼<π/2 drehen, um die beiden Äste auf ganz ℝ übereinander zu legen. Eine Funktion dazu muss sich für einen Ast entscheiden (beim Wurzelziehen). Obiges Beispiel dreht den Graphen um π/4.
  • Für 𝛼=0 oder 𝛼=π/2 kann die Funktion y=1/x bzw. y=-1/x sogar beide Äste abbilden (sofern Du den Definitionsbereich nicht vorsätzlich einschränkst).
  • Für π/2<𝛼<π zerfällt der Definitionsbereich in einen negativen und einen positiven Teil. Eine Funktion müsste sich in beiden Bereichen für einen Arm entscheiden. Das kann zwar "in Summe" einen ganzen Ast ergeben; aber wahrscheinlich ist das nicht gefragt...
    Ein Beispiel dazu ist y=√(x²-1) (für |x|≥1).

Zusätzlich zur Drehung kann man natürlich immer eine Verschiebung und/oder Streckung ausführen. Die Funktionseigenschaft bleibt davon unberührt.

Antwort
von gilgamesch4711, 10

  Total bekloppte Antwort; eine Funktion ist ja immer eine eindeutige Funktion. Die Standardhyperbel lautet

   (  y / a  )  ²  -  (  x / b  )  ²  =  1    (  1  )

   ( 1 ) ist eine Hyperbel in " liegender " Darstellung; genau wie ein Kreis erst dann zur Funktion wird, wenn du den unteren Halbkreis weg lässt, musst du hier die Lösung für y < 0 unterdrücken; der positive und der negative Ast entsprechen auch von der Symmetrie den beiden Ästen der Hyperbel; im Sinne der ===> Topologie handelt es sich echt um zwei verschiedene ===> Zusammenhangskomponenten.

   Aber so tief ins Detail musst du ja gar nicht gehen; es hindert dich z.B. niemand, den Definitionsbereich der Hyperbel

     f  (  x  )  :=  1 / x     (  2  )

   auf den rechten Rand |R+ einzuschränken.

Kommentar von hilfebittefatal ,

Also gibt es keine direkte Funktion dafür.

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