Funktion mit nur einem Hyperbelast?
Gibt es Funktionen welche nur einen Hyperbelast haben? Falls ja, welche?
4 Antworten
Total bekloppte Antwort; eine Funktion ist ja immer eine eindeutige Funktion. Die Standardhyperbel lautet
( y / a ) ² - ( x / b ) ² = 1 ( 1 )
( 1 ) ist eine Hyperbel in " liegender " Darstellung; genau wie ein Kreis erst dann zur Funktion wird, wenn du den unteren Halbkreis weg lässt, musst du hier die Lösung für y < 0 unterdrücken; der positive und der negative Ast entsprechen auch von der Symmetrie den beiden Ästen der Hyperbel; im Sinne der ===> Topologie handelt es sich echt um zwei verschiedene ===> Zusammenhangskomponenten.
Aber so tief ins Detail musst du ja gar nicht gehen; es hindert dich z.B. niemand, den Definitionsbereich der Hyperbel
f ( x ) := 1 / x ( 2 )
auf den rechten Rand |R+ einzuschränken.
Ja, z.B. y=√(x²+1)
Allgemein:
- Du kannst den Graphen x·y=1 um 0<𝛼<π/2 drehen, um die beiden Äste auf ganz ℝ übereinander zu legen. Eine Funktion dazu muss sich für einen Ast entscheiden (beim Wurzelziehen). Obiges Beispiel dreht den Graphen um π/4.
- Für 𝛼=0 oder 𝛼=π/2 kann die Funktion y=1/x bzw. y=-1/x sogar beide Äste abbilden (sofern Du den Definitionsbereich nicht vorsätzlich einschränkst).
- Für π/2<𝛼<π zerfällt der Definitionsbereich in einen negativen und einen positiven Teil. Eine Funktion müsste sich in beiden Bereichen für einen Arm entscheiden. Das kann zwar "in Summe" einen ganzen Ast ergeben; aber wahrscheinlich ist das nicht gefragt...
Ein Beispiel dazu ist y=√(x²-1) (für |x|≥1).
Zusätzlich zur Drehung kann man natürlich immer eine Verschiebung und/oder Streckung ausführen. Die Funktionseigenschaft bleibt davon unberührt.
Ja z.B. f(x) = x^11
Um die Antwort von Ralphdieter zu verstehen, wäre es hilfreich, dich ===> homogenen quadratischen Formen zuzuwenden so wie dir die ===> Paulimatrizen rein zu ziehen.