Funktion dritten Grades auflösen?
Hallo, ich habe eine mathe Aufgabe und es geht um eine Funktion, die die Besucherzahl in einem Freizeitpark angibt. Die Funktion ist B (t)= -50t^3 +1800t^2-19200t + 62000 , t in Stunden angegeben.
Der Park öffnet von 10 Uhr bis 19:30 Ich muss angeben , wann die Besucheranzahl 4400 ist. Ich gleichgesetzt aber ich konnte nicht weiter lösen. Wäre nett wenn jemand mir den Rechneweg zeigen kann.
Liebe Grüße
2 Antworten
Es soll 4400=-50t³+1800t²-19200t+62000 gelten.
<=>-88=t³-36t²+384t-1240
<=> 0=t³-36t²+384t-1152
Da das Ding normiert ist, sind alle ganzzahligen Nullstellen auch Teiler von 1152. Die jetzt alle aufzuschreiben, ist mühsam - glücklicherweise ist x=12 eine Lösung.
Damit führst du dann eine Polynomdivision durch, die dir einen quadratischen Ausdruck ausspuckt, dessen Nullstellen die anderen beiden Lösungen der Anfangsgleichung sind.
Ja, genau.
Wie gesagt, wenn du ein normiertes Polynom hast, also Faktor 1 vor der größten Potenz von x (hier t), gilt:
Gibt es ganzzahlige Nullstellen, teilen sie das Absolutglied glatt (den Teil ohne x)
Die ersten (positiven) Teiler von 1152 sind 1,2,3,4,6,8,9,12.
Die sind per Taschenrechner schnell durchprobiert und liefert f(12)=0.
Dann setzt du mit (t³-36t²+384t-1152) / (t-12) eine Polynomdivision an und berechnest die Nullstellen des entstehenden Ausdruckes.
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Anderer Ansatz:
Die Ableitung ist 3t²-72t+384 und liefert Extrema bei t=8 und t=16.
Da f(8)>0 und f(16)<0, muss zwischen t=8 und t=16 eine Nullstelle liegen.
Da die Funktion Grad 3 hat, liegt aufgrund der Punktsymmetrie der Wendepunkt genau zwischen den Extrema bei t=12.
Wenn man dann mal ganz naiv schaut, ob der Wendepunkt vielleicht eine Nullstelle ist, erhält man so die Lösung t=12.
Es verbleiben jedoch trotzdem zwei weitere Lösungen. Diese sind, wie in Ansatz 1, per Polynomdivision, Horner-Schema, Newton-Verfahren oder whatever zu bestimmen. Prüfe dann, welche Lösungen im Sachzusammenhang gefordert sind.
Von den drei reellen Lösungen kannst Du nur eine brauchen, denn der Park hat nur 9,5 Stunden geöffnet.
Die korrekte Lösung kann also nur eine sein, die zwischen t=0 und 9,5 liegt, und das tut nur eine von den drei.
Herzliche Grüße,
Willy
Hallo MohammedSabaawi
Bei dieser angegebenen Funktion musst du die Zeit als Uhrzeit eingeben. Bei der Öffnung um 10 Uhr, musst du also für t den Wert 10 eingeben und erhältst tatsächlich für B (die Besucherzahl) den Wert 0. B(10) = 0.
Nun probierst du einfach weiter und setzt für t den Wert 11 ein, um die Besucherzahl um 11 Uhr zu erhalten und erhältst den Wert B(11) = 2050. Schon besser!
Nun setzt du hoffnungsvoll für t den Wert 12 ein und erhältst B(12) = ?
Es grüßt HEWKLDOe.
Wieso? t=12 ist ein genauer Wert für die Lösung der Aufgabe. Wenn man die von MeRoXas vorgeschlagene Polynomdivision mit (t-12) durchführt, erhält man die quadratische Funktion t² - 24t +144=0. Diese hat dann die ebenfalls genauen Lösungen t= 12+,-4*Wurzel(3) = 18,928 bzw. 5,072, von denen eine, wie Willy1729 schon mitgeteilt hat außerhalb der Öffnungszeit liegt. Somit bleibt noch als zweite Lösung t = 18,928, also 18:55:41 Uhr..
Wenn du die Lösung t = 18,928 in die Ausgangsgleichung (ganz oben in der Frage) einsetzt, erhältst du tatsächlich 4400 Besucher. Die Nachkommastellenkannst du vergessen, da - hoffentlich - nur ganze Besucher kommen.
Es grüßt HEWKLDOe.
Korrektur: Beim Abschreiben von meinem Konzept bin ich in die falsche Zeile geraten. Richtig ist: (t³-36t²+384t-1152)/(t-12) = t²-24t+96. Und t²-24t+96=0 hat die Lösungen t1,2 = 12 +,-4*Wurzel(3). Ich hoffe, ich habe mit meinem Abschreibfehler keine Verwirrung verursacht.
Es grüßt HEWKLDOe.
wie bist auf die 12 gekommen ? einfach ausprobieren?