FREIHEITSGRADE (STATISTIK)

Question

Hallo Leute.

Wer kann mir sehr einfach und verständlich erklären wie es bei der t-Verteilung mit den Freiheitsgraden (df) funktioniert? Ich habe selbstverständlich schon im Google alles durch gestöbert und in den Büchern habe ich auch alles durchgelesen... aber irgendwie kapiere ich trotzdem nicht WARUM man die von dem Ergebnis abziehen muss. Irgendwie bekomme ich da den logischen Ablauf (oder ein logisches Bild) nicht zusammen.

Kann mir bitte jemand in "Teletubbies-Sprache" erklären WIE das geht? Ich wäre für jede noch so kleine Hilfe sehr dankbar.

boophis · Accepted Answer

Das vertrackte bei den Freiheitsgraden ist der Name. Man ist versucht, da Ausprägungen der Freiheit zu zählen. Ich würde da nicht lange suchen, sondern diese df einfach als Nummerierungen (Parameter) von Wahrscheinlichkeitsverteilungen interpretieren.

Fast immer, wenn von df die Rede ist, geht es um eine der unendlich vielen Chiquadrat-Verteilungen, die mit dem Parameter df durchnummeriert werden. Wenn ich eine Stichprobe der Größe N aus Ziehungen (Werte) x(i) einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen habe und die Summe der quadrierten Werte x(i)² bilde, ist diese Summe Chiquadrat-verteilt. Die Verteilung hängt aber von N ab, weshalb man diese Chiquadrat-Verteilungen mit N durchnummeriert und die Nummer N dann df (deutsch FG) nennt, weil es die Zahl der freien Ziehungen ist.

Man kann nachweisen, dass auch die Summe (x(i) - M(x))² Chiquadrat-verteilt ist, wobei M(x) der Mittelwert der Werte ist. (Es geht immer noch um die standardnormalverteilte Zufallsvariable X.) Aber die passende Verteilung ist nicht die mit der Nummer N, sondern die mit der Nummer N-1. Also sagt man, dass die Zahl der Freiheitsgrade in diesem Fall df = N-1 ist. Das ist einfach Tatsache. Die Interpretation oder Merkregel, die dann nachgeschoben wird, lautet: Von den Differenzen x(i) - M(x) ist die letzte nicht mehr frei, weil die Summe aller Differenzen Null sein muss. Aber darauf kommt es gar nicht an, das ist nicht wichtig. Wichtig ist, dass die Verteilung der Summe eben die Nummer N-1 hat.

Ich habe gerade gesehen, dass der eben genannte Nachweis in http://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung steht.

HWSteinberg · Answer

http://de.wikipedia.org/wiki/Freiheitsgrad#Statistik

Oder: wenn Du eine Stichprobe der Größe n hast und willst sie auf einen bestimmten Mittelwert, z.B. MW=1,80 meter, testen, dann kannst Du neben den 1,80 meter die Größen für n-1 Personen theoretisch frei vorgeben und hast dann wegen der Vorgabe MW=1,80 nur einen Wert noch für die n-te Person. Insofern sind n-1 Personen frei.

So kann man sich das merken, aber natürlich ist das kein Beweis. Die mathematische Herleitung, dass die Mittelwertschätzung über eine Stichprobe der Größe n bei normalverteilter Grundgesamtheit t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden ist, kann man sich vielleicht in der Originalliteratur von R.A. Fisher ansehen oder in anderen Lehrbüchern.

Ich gehe mal davon aus, Du weißt, dass Schätzungen eines Parameters wie des Mittelwertes eine Verteilung haben - man kann theoretisch ja viele verschiedene Stichproben der Größe n ziehen mit jeweils unterschiedlichen Ergebnissen, insofern hat die Mittelwertzschätzung eine Verteilung und ergibt keinen festen Wert.

FREIHEITSGRADE (STATISTIK)

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