Das vertrackte bei den Freiheitsgraden ist der Name. Man ist versucht, da Ausprägungen der Freiheit zu zählen. Ich würde da nicht lange suchen, sondern diese df einfach als Nummerierungen (Parameter) von Wahrscheinlichkeitsverteilungen interpretieren.

Fast immer, wenn von df die Rede ist, geht es um eine der unendlich vielen Chiquadrat-Verteilungen, die mit dem Parameter df durchnummeriert werden. Wenn ich eine Stichprobe der Größe N aus Ziehungen (Werte) x(i) einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen habe und die Summe der quadrierten Werte x(i)² bilde, ist diese Summe Chiquadrat-verteilt. Die Verteilung hängt aber von N ab, weshalb man diese Chiquadrat-Verteilungen mit N durchnummeriert und die Nummer N dann df (deutsch FG) nennt, weil es die Zahl der freien Ziehungen ist.

Man kann nachweisen, dass auch die Summe (x(i) - M(x))² Chiquadrat-verteilt ist, wobei M(x) der Mittelwert der Werte ist. (Es geht immer noch um die standardnormalverteilte Zufallsvariable X.) Aber die passende Verteilung ist nicht die mit der Nummer N, sondern die mit der Nummer N-1. Also sagt man, dass die Zahl der Freiheitsgrade in diesem Fall df = N-1 ist. Das ist einfach Tatsache. Die Interpretation oder Merkregel, die dann nachgeschoben wird, lautet: Von den Differenzen x(i) - M(x) ist die letzte nicht mehr frei, weil die Summe aller Differenzen Null sein muss. Aber darauf kommt es gar nicht an, das ist nicht wichtig. Wichtig ist, dass die Verteilung der Summe eben die Nummer N-1 hat.

Ich habe gerade gesehen, dass der eben genannte Nachweis in http://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung steht.